在进行因子分析之前，研究者需要先确立一个重要的问题：应该保留多少个因子？这个问题对于理解数据、解释变量之间的关系以及构建理论模型至关重要。因此，这篇文章将探讨如何确定最佳的因子数，以及在实际应用中可能遇到的挑战。
首先，我们需要了解什么是因子分析法。在统计学中，多元数据集中的相关性和协方差矩阵可以通过主成分分析（PCA）来降维。然而，当我们想要从原始变量中提取更抽象的概念或特征时，就可以使用主成分回归（PCR）。这种方法允许我们根据这些抽象特征对原来的观测值进行预测。
接下来，我们要考虑到选择合适数量的因子的重要性。这通常涉及到一种称为“自由度图”的技术，它显示了每个潜在单一成分所解释的标准化总方差百分比与其对应于该成分的 Eigenvalue 的负指数函数值。理论上，如果我们的模型正确地捕捉了真实世界中的现实，那么这条曲线会有一个明显断点，即“椭圆切割点”。这个点表示着最后一个有效组件。
然而，在实际操作中，这种方法并不总是那么清晰，因为数据往往不会像理论那样完美无缺。此外，即使出现了这样的断点，也没有确凿证据表明所有超过这个数字的组件都是不相关联或冗余。如果存在多个可行解决方案，并且每种情况都有一些优劣势，那么决策就变得更加复杂。
此外，有些时候，对于具有许多潜在单一成分但只有少数几个真正影响响应变量的情况，我们可能会发现自由度图并不能提供足够明确的地标。为了处理这种情况，可以采用其他方法，如Kaiser-Guttman准则，该准则建议只保留那些 Eigenvalue 大于1.0 的组件；或者Scree plot法，该方法建议保留直到第一峰之后所有组件。但是，每种规则都有其局限性，比如Kaiser-Guttman准则可能过滤掉一些小但仍然有意义的小型结构，而Scree plot法依赖于人工判断，不利于客观决定。
为了更好地理解这些挑战，我们可以通过举例说明来加深认识。在心理测量领域，例如，用问卷调查来评估一个人的人格特质和情绪状态时，将常见行为指标如友好、诚实等编码为多项选择题目，然后用它们形成一个大型数据集进行聚类或主成分分析以揭示潜在的心理过程。这里面最大的难题之一就是确定哪些指标真正代表核心心理过程，而不是随机变化或误差源自不同回答者的偏好而引入的一般趋向。如果我们错误地去除了一些关键的心理过程，从而导致我们的模型失去了精确性，那么结果就会被严重扭曲，从而导致结论失去科学性的支持。
综上所述，在应用因子分析的时候，要特别注意如何确定最佳数量的问题。这是一个需要基于具体研究背景和目标、结合大量经验判断和专业知识以及系统测试各类假设性的过程。而最终得到的一个答案也只是暂定的，因为任何统计模式都受到一定程度上的假设限制，不同条件下不同的结果是很正常的事情。此外，还需不断更新知识库，以便跟上最新发展，最终实现更好的理论框架与实验设计相结合，为科学进步做出贡献。
