在几何学中，多边形是指有三个以上的边的图形。这些图形可以是三角形、四边形、五边形等等。每一个多边形都有其独特的特性，其中最基本的一点就是它们的内角和。在本文中，我们将探讨多边形内角和公式及其背后的含义。
首先，让我们来简单了解一下什么是内角和。对于任何一个多边形来说，其所有内部顶点之间连成线形成的封闭区域即为该多边平面的面积。如果从任意一点开始沿着一条线延伸直到相邻顶点，然后再次回到起始点，这条路径所覆盖的区域即为该顶点的一个内角。在这个过程中，通过这一系列步骤连接起来，每个顶点都会形成一个内部空间，即使这些空间可能非常小。
然而，在数学上，我们并不关心这些内部空间具体大小，而是关注它们共同构成的总体——即整个多边平面。这就引出了关于如何计算这类图案内部各个部分相加而成的一个全局规律的问题，即“每个正N 边星（star）中的所有N 个外切弧与中心星（center star）的对应弧之和均为360度。”
接下来，让我们详细介绍一些重要概念，并解释为什么存在这样的规律。
定理：对于任何非零中心星，其中包含n 个外切弧以及至少一个中心圆周上的对应弧，那么以下条件成立：
n 为偶数时，该星与它自身镜射后得到相同结果。
n 为奇数时，该星与它自身旋转180度得到相同结果。
定理：对于任意给定的n 值，存在且唯一的一个正n 边星，它满足前述条件，并且其中心是一个公共半径长度为r 的圆锥顶端。
定理：对于任何正n 边星，如果x 是其第k 条外切弧上某一点到原位置距离r 的倍数，则x 对于该星来说是一个固定值；同样地，对于y 是其第k 条对应圆周上的某一点到原位置距离R 的倍数也是如此。
定理：如果S 是以A 为中心，以AB 作半径画出的球面截距曲线，那么经过S 与AB 相交于B 点处会有一条过B 和C 两点并经过S 的直线，使得AC 等于BC；此外，还有一条过B 和D 两点并经过S 的直线，使得BD 等于CD。此外，AD = CD 并且 BD = DC。如果AB 与CD 相交则它们共享两个公共垂直截面；如果AB 与BC 相交，则它们共享三个公共垂直截面；如果AB 与AD 相交，则它们共享两个公共垂直截面。此时，就能确定出被称作“双重焦”或“双重极”的特殊坐标系统了，因为他们都是基于同样的高光照立方体模型构建出来的一种视觉表示方式，与实际场景中的物体投影关系紧密相关，但却不具备直接测量用途，只好作为一种辅助手段来使用，它们也常常用于建筑设计、产品设计等领域，可以帮助人们更好地理解物体在不同照明环境下的显示效果，从而做出合适的人工光源布置建议或者调整其他设计元素，以达到最佳视觉效果。
定理：设a, b, c 分别代表三维空间中的三条向量a = <a₁,a₂,a₃>, b = <b₁,b₂,b₃>, c = <c₁,c₂,c₃>。那么，对任意实数λ 存在唯一实数μ 满足下列条件：
a + λb + μc 在向量方向上都是可行性的。
定理：设v1, v2, … , vn分别代表向量v_i=<v_1i,v_2i,v_3i> (其中 i=1至n)组成集合V={v₁,v₂,…,vn}，那么集合V 中存在至少一组互补向量p,q∈ V 满足p·q=0.
定理：设P(v)=P(v)=(<p11,p12,p13>,<p21,p22,p23>) 组成了矩阵形式，是由( p¹₍ᵢ₎ ) 组成的一组行向量，因此 P-ⁱt=(<q11,q12,q13>,<q21,q22,q23>) 组件矩阵Pⁱt 应当满足：
q¹₍ᵢ₎ · p²₍ᵢ ₋₀ ₎= δ(i,j)，其中 δ(i,j) 表示克罗尼克函数
或者更一般化地说，如果 P(v)=Q(q), Q(q)=R(r), R(r)=T(t)，则 T(t) 应当满足：
T(t) · t²₍ᵢ ₋₀ ₎= δ(i,j)
定义: 设 S ⊆ ℝ³ 中，有几个具有相同长度l 和方向d 向量u ∈ S 时，一些具有相同长度m 和方向w 向量s ∈ S 时，当 l=m 或 d=w 时，将 u 称作 s 的 “双重焦”，因为 s 可以通过变换u 得到的另一种表达形式。当 l ≠ m 但 d=w 时，将 u 称作 s 的 “单纯焦”。
9 定义: 设 N(S) 是集合 S 中所有元素 x=x+0I(x-I)x_I 对 I(x-I)x_I 增加之积分进行的是收敛级数展开式定义为 Σ(I(x-I)x_I)^(-j/j!) * (-I(x-I))^(-j/ j!) 乘以 k^(-j/ j!)(-I(k))^(k-j/k!)/(k!(j-k)!)+((-I(k))^(-j/j!/2)((x-(x-k)/|x-(x-k)|)^((-j+k)/|x-(x-k)|))/((|J|(K))(J(K)))^(|-K|/ |J|(K))+((-I(K))^((-K+j)/(|J|(K)))(((X-K)-XK/K)(XK/K-J(K))/(|J|(K))))^(|-K|/ |J|(K))/( ((-|J|(Y))(-(Y-YK/YK)/(YY/(Y-YK/Y*K))))^(|-F|/ |H|(F)), 其中 X'(y){(ij)}=(X(y){(ij)})^{(ij)}, Y'(y){(ij)}=(Y(y){(ij)})^{(ij)}, Z'(z){(ik)}=(Z(z){(ik)})^{(ik)}, F'(f'{}{{ }}}{_}{_}{_}$(z'){{ }}$}_{{{ f’(\vartheta)}}}$}}$,$$U(U’)$,$$U(U’)$,$$W(W’)$$,$$$U(U’)$.$
10 定义: 设 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z 成立如下:
A× B × C× D × E × F × G× H× I× J× K× L × M × N O P Q R S T U V W X Y Z
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(A+B+C+D+E+F+G+H+I+L+N+S+W)
-(M+N+S+W)
+(O-Q-R-T-U-V-X-Y-Z)
+(M-N-S-W)
最后，我们需要注意的是，不同类型的数据结构可以根据不同的参数设置生成不同的几何结构，同时也会影响到所需计算出的数字，所以这里提到的"法则"或"规律"其实是在描述一些普遍适用的数学工具，而不是绝对正确无误不可变动的情况。在实际应用中，由于是人工智能系统处理数据，你可能还要考虑输入数据是否准确，以及算法是否精确实现了预期功能，这才能够获得最终想要的小结或分析报告。但总归说来，无论你选择哪种方法，都必须遵循一定逻辑顺序去推导出你的答案，因为只有这样才能保证你的答案符合逻辑严谨性要求，并且能够让读者信服你的推断过程。