在数学和物理学中，向量公式是描述向量基本运算的重要工具。向量可以用来表示空间中的位置、速度、加速度等物理量，它们具有大小（模长）和方向两个特征。向量公式通常指的是点积（也称为内积或标量积）与叉积（也称为外积或矢積）的计算方法。
点积公式
点积又分为欧几里空间的三维点积和一般n维空间的点积两种。在三维欧氏空间中，两个三维向量A = (a₁, a₂, a₃) 和B = (b₁, b₂, b₃) 的点积定义如下：
A · B = |A| * |B| * cosθ
其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模长，即它们长度；cosθ是这两个向量夹角的余弦值。根据这个定义，可以推导出一个非常有用的公式：
A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
叉乘公式
叉乘用于计算两个三维向量所形成的一个新方向上的投影，这个新方向垂直于原来的两条线段。如果我们有两个三个成分相同顺序但各自不同的三个实数a, b and c，以及d,e,f，则以下是一个常见情况下的叉乘结果：
C × D = i(ei − fh) - j(di − fg) + k(dj − eg)
这里C×D代表了从P到Q经过R的平行矩形区域面积，而(i,j,k)则代表了一个单位立方体沿着x,y,z轴旋转得到的一个特殊正交基。
向量投影与法线
在应用上，通过使用叉乘，我们还能找到任意两条线之间或者任意一条线与平面之间的一些性质，比如求出两条直线相交时交于何处以及如何确定一条直线是否平行于某个平面。
向场力定理
对于电磁学领域来说，在静电场中，如果有一组小球体分布均匀且密度相同，那么这些球体会产生一种叫做“电势”之类东西，这种现象可以通过利用叉乘来描述，因为它涉及到许多关于力的作用力。
角速度与角加速度
在动力学中，对于旋转运动，如物体绕其中心轴旋转，我们可以用角速度ω表示每秒钟围绕轴心所完成的周长，而如果物体正在改变其围绕某轴旋转，则需要引入角加速度α，以描述变化率。这一点也是通过对应规则利用了叉乘操作来进行处理。
应用领域广泛
最后，无论是在工程设计、天文学还是地质学研究当中，都离不开这些基础理论框架，因此了解并掌握这些简单但强大的工具对于解决实际问题至关重要。