在几何学的世界里，一个多边形是一个有三个以上边界和至少三个顶点的图形。它是我们日常生活中所接触到的无数图形之一，从简单的三角到复杂的星座，每一种多边形都具有其独特的特性。其中最重要的一个特性，就是它们内部各个顶点相连形成的一个闭合区域，即每个多边形都有一个明确定义的一组内角。
这些内角是由多边形两条相邻边与共享的顶点构成，它们之间存在着一条名为“内角和”的规律，这便是我们今天要探讨的话题——"多边形的内角和公式"。
多邊形內角和公式
定義與理解
首先我們需要了解什麼是一個平面圖（即一個多邊形单位為度）。這種單位可以讓我們計算出平面圖內所有頂點之間連線所形成閉合曲線周長。根據幾何學定理，任何非零邊數且非正三邊型都是凸面的，這意味著它們不會自我交叉或穿過自己。
公式推導
对于任意一个 n 边 Polygon，其中 n 为 3 或更大，Polygon 的每一条直线段上的两个端点确定了该 Polygon 内的一个唯一、完整、没有重叠部分面积包含于这个直线段上全部其他 Polygon 中间部分完全包含于这个直线段上全部其他 Polygons 中间部分完全不被此直线分割面积中未包括在此类 Polygons 的空间中对应于 n-2 个外部圆环。这就是为什么我们称之为 "n-2 个外部圆环" 的原因，因为他们共同围绕着原来的 Polygon 周长形成了完整轮廓。当你想象这样的情况时，你会发现这样做其实就是将整个过程简化为了计算最后那个圆环周长，并将其乘以 360 度除以总周长来得到实际值。你也许会问为什么我们不是直接计算整个图案，而是只考虑最后那个圆环？答案很简单，因为如果你从起始位置开始画弧，那么每次都会回到起始位置，所以最终结果不会改变，只是在途中通过不同的路径达到相同目的地而已。但如果你选择从任意一点开始画弧，那么你的结果将依赖于选择哪个作为起始点，但这并不会影响最终结果因为根据基本定理，每个可能路径都会返回相同结果。
当你使用这种方法来计算时，你会发现下面的方程成立：
[ \frac{m}{n} = \frac{360}{P} ]
其中 m 是测量过渡状态下的前半圈长度；n 是测量过渡状态下的后半圈长度；P 是测量前后两半圈长度差异。如果 P=0，则表示这是一个完美无瑕循环，如果 P>0，则表示这是一个向右转动，如果 P<0，则表示这是向左转动。
但是，我们知道 m 和 n 都等於同样的值，因此方程变成了：
[ \frac{n}{n} = \frac{360}{P} ]
现在让我们考虑一下另外一种情况，即 p 等於 1。在这种情况下，我们可以得出结论：
[ P = 1 - (x + y) + z = x + y - z, \quad x, y, z > 0.5. ]
因此，当 ( x < y < z < x+y+z/2) 时，我们可以得出结论：
[ f(x,y,z) = (x+y)(z-x-y)/2 - (y-z)(x-y-z)/4 > 0.5.
]