正弦波是物理学中最基本的波形之一，它可以用来描述各种振动现象，比如声音、电磁波和机械振动。正弦波的数学表达式通常是以时间t或空间位置x为变量，根据其振幅A、频率f或角频率ω以及初相位φ，可以表示为：
y = A * sin(2πft + φ)
其中，y代表振动的幅度（也称为位移），sin()函数代表单位圆上的切线长度。
与此同时，在数学领域，特别是在复分析中，圆函数是一个非常重要的概念。一个复数z可以表示成实数部分re(z)和虚数部分im(z)，即z = re(z) + im(z)i。在复平面上绘制这个点，就形成了一个以原点O作为中心，以半径r和角度θ为参数的圆。
现在，我们将探讨正弦波与圆函数之间的一种特殊联系，即它们都能通过同样的方程来描述。这一联系体现在它们共同使用三角函数中的sin(x)。
首先，让我们回顾一下正弦波在时间域下的表达式：
y(t) = A * sin(2πft + φ)
这里我们有一个周期性信号，每个周期持续1/f秒，其中f是信号的频率。为了更好地理解这一过程，我们可以把这个信号想象成绕着某个轴旋转的一个物体。如果沿着该轴移动，那么物体对观察者的视野会产生一种螺旋状变化，这种变化就是所谓的“右手螺旋”或者“左手螺旋”，这取决于我们选择哪种方向定义我们的坐标系。
接下来，让我们将这种视觉化过程映射到复平面上。由于sin(x)是一个三角函数，它实际上也是单位圆的一部分。在complex plane中，如果考虑到单位圆周长为2π，则sin(x)就等于x轴上的投影值，也就是说它只关注实部，而忽略了虚部，从而导致了丢失了一些信息，因为cos(x)、e^(ix)、e^(-ix）等都是相关联且重要的情况，但这些并没有被包含在单纯的sin(x)内。
然而，当我们将所有这些组合起来，并且引入一些新的概念，如Euler公式：e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，情况就会变得更加丰富。当时刻基于Euler公式，我们发现任意多次指数项之和，其结果仍然是一条直线。这意味着，无论何时，只要涉及到任何多项式展开，其中包括二阶以上幂次项，都无法有效地利用仅依赖于一次幂次项（例如，对应于0阶次数）的简单形式去解释整体行为。但当涉及到指数级别操作时，这里出现了一些新的可能性，比如利用Fourier变换，它允许将任何连续信号分解成无限多个不同频率的小块，并通过加权叠加得到原始信号，这对于处理系统能够理解各类不同尺寸数据至关重要，因为它使得很多任务成为可能，如图像处理、音频分析以及数据压缩等技术。
因此，不难看出，当我们想要深入了解一个系统或者进行预测的时候，将问题从两维空间扩展至高维空间尤其具有意义。在这个背景下，与每个人都有关联但又不完全相同的问题开始浮现：如果存在一种方法，将真实世界中的现象从低维向高维提升，那么这样的提升是否有助于解决传统方法难以解决的问题？答案似乎隐藏在前述关于自然界中的许多现象背后，而这些现象本身既充满美丽又充满挑战性的质问一直激励着科学家们不断探索未知世界，为人类带来了无尽财富。而研究者们通过提出更多疑问，不断寻找答案，最终揭示了那些曾经看似神秘不可测的事情，使得人们对于自然界更加精通，从而推进社会发展步伐一步跨越前行。