什么是Jensen不等式？
Jensen不等式是一个在数学领域中广泛应用的重要工具，尤其是在概率论、统计学和信息论中。它以丹麦数学家Jørgen Jensen的名字命名，这个不等式描述了一个关于期望值的一种性质，它能够帮助我们对某些类型的随机变量进行分析和推理。下面，我们将深入探讨这个不等式的定义、证明以及它在实际问题中的应用。
如何定义Jensen不等式？
要理解Jensen不等式，我们首先需要了解什么是凸函数。在数学上，一个函数f(x)被称为凸，如果对于所有x和y，以及0 ≤ t ≤ 1，都有：
f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)
这意味着一条从点(x, f(x))到点(y, f(y))的直线与函数f之间形成的是凹形。如果一个函数满足这个条件，那么它就是凸函数。
现在，让我们引入期望值概念。给定一个随机变量X，其分布为P(X)，那么X的一个期望值E[X]可以看作是所有可能取值xi对应概率pi之积累加起来得到的数：
E[X] = ∑[i=∞] pi * xi
如果我们把这个期望值当作输入，将其代入任意凸函数f(u)，那么根据凸性质，我们可以得到：
E[f(X)] ≥ f(E[X])
这是Jensen不等式的一个基本形式，它表明任何关于X的一个可测（即可以计算出其预期）实值函子F(X)都不能使得平均情况下的F(X)小于或大于平均情况下的F(E[X])。
为什么要用Jensen不等式？
使用Jensen 不等式主要有两个原因：第一个原因是它提供了一种强大的工具来分析复杂系统。在许多场合，比如信号处理、通信理论或者优化问题中，人们往往会遇到难以直接解决的问题，而通过构造一些新的可解的问题，然后利用这些新问题与原问题建立联系，可以间接地找到原问题的答案。这时，通过选择恰当的 函数f，可以转化为更容易处理的问题，并且最终结果不会比原始问题差。
第二个原因则在于该公式具有普适性，在很多不同领域都能应用，如经济学、生物统计学、数据挖掘甚至金融工程中，不同的人可能会用不同的方式去理解并运用这一原理，但本质上都是为了利用这种简单而强大的工具来简化复杂现象或模型，从而获得更加精确或稳健的地方法律结论。
怎样证明Jensen 不等式？
证明 Jensen 不等义通常涉及两步过程：第一步是验证对于每个单独元素j，其中0 ≤ j < n 的 xj ∈ D 都成立；第二步则要求考虑整个集合D上的最大极端点，即xj ∈ argmax{xk} for k = 0, ..., n - 1.
具体来说，对于任何xj ∈ D，有：
(2/3)x_j + (1/3)x_k <= E(f)(x)
其中k 是 argmax{xk} for k = 0, ..., n - 1.
由于 x_k 为最大极端点，所以：
(2/3)x_j + (1/3)x_k <= E(f)(x)
简化后得：
(2/3)f(x_j) + (1/3)f(x_k) <= E(f)(x)
现在设法使 x_j 和 x_k 对应概率p分别相加，使得总体概率保持恒定，即 p_0 等于零。
所以对于任意非负实数 a 和 b 有：
ap_0 + bp_01
因此，对于任意实数 c 有：
c^a * e^(bc)p_01
由此可见，无论c取何实数，其指数项均始终正。
因此，由此得到:
e^(ax_i+bx_c)p_i >= exp(aE[x])
其中 i 指代最大的索引（即argmax{xk})。
最后，将 c 设置为 lnx 得到所需结果:
exp(lna*x_i+bx_c)p_i >= exp(aE[x])
综上所述，这里就完成了 Jensen 不平衡性的正式证明过程，该过程基于对单一组件及其最佳组合可能性进行考察，以确定是否存在一种特殊的情况下，则整体系统表现出的行为必然符合一定规律，因此这一思想既有助人解决实际世界中的复杂情景，也展现了数学逻辑力量不可估量之处。