在统计学和概率论中，高斯分布是一种非常重要的连续概率分布，它以数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名。它是描述实数值随机变量特性的一个常用模型，尤其是在处理误差、偏差或观测数据时。这种分布以正态曲线为形状，其形状由两个主要参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。
在本文中，我们将探讨如何通过改变高斯分布中的标准差来影响其图形。
首先，让我们回顾一下什么是高斯分布。正态曲线是一个具有最大频率点的钟型曲线，其两侧逐渐向下倾斜。这意味着大多数数据点集中在平均值附近，而极端值则相对较少。在数学上，给定一个随机变量X，有一组参数(μ, σ^2)表示其所遵循的高斯分布，其中μ代表了平均值或位置参数，而σ^2代表了方差或离散程度。
现在，让我们更深入地探讨如何通过调整σ来影响这个图形。标准偏移度越大的正态分发，就越宽广；而对于小于1的标准偏移度，则越窄。当σ增加时，正态曲线变得更加扁平，从而导致更多样化得分。当σ减小时，曲线变得更陡峭，这意味着得分趋向于聚集在靠近均值的地方。
为了理解这一点，我们可以从以下几个方面分析：
中心密度：当sigma较大时，即使是在中心区域，也会有更多不太可能发生的情况出现。而当sigma较小时，在中心区域就出现了大量可能性。此外，与sigma成反比的是“尾部稀疏性”。如果sigma很大，那么远离均值处就会有更多可能性。如果sigma很小，那么远离均值的地方就显得稀疏。
峰顶高度：另一方面，当Sigma降低时，由于峰顶高度与Sigma成反比，因此需要一个更小的Sigma才能达到相同数量级上的峰顶高度。这就是为什么当你看到一条看起来非常尖锐且狭窄的Normal Distribution curve时，你知道它实际上是基于一个比较小的Sigma计算出来。
全体范围：最后，不同大小的小提琴会产生不同的Full Width at Half Maximum (FWHM)。FWHM定义为从最高峰到每个半高度之间距离的一半。当Sigma增加时，这个范围也会增加，所以你看到了一条宽阔的大提琴。在逆方向上，如果Sigma减少，将得到一条窄阔的大提琴
总结来说，无论是通过视觉直觉还是数学证明，大致来说，当我们改变 Sigma 的大小，我们正在调整 Normal 分布 的 “纤维” 或 “粗糙度”，这直接影响到该函数图像上的某些关键特征，如中心密度、峰顶高度以及整体宽度。但请记住，每次改变 Sigma 时都会同时改变整个函数，从而使其他属性也发生变化，并最终塑造出不同类型和尺寸的小提琴作为结果输出。
