引言
在数学的许多分支中，尤其是在物理学、工程学和计算机科学等领域，向量公式扮演着至关重要的角色。它们不仅是理解空间关系和进行复杂计算的基础，也是解决实际问题的一种强有力的工具。在本文中，我们将深入探讨线性代数中的向量公式及其在这个领域内的应用。
基本概念与符号
在开始之前，我们需要对一些基本概念进行了解。首先，向量是一种用来表示位置、速度或方向等物理特性的数学对象，它可以看作是一个具有大小（模长）和方向的箭头。在三维空间中，一个点可以通过三个坐标（x, y, z）来确定，而一个矢量则需要两个部分：一个大小部分称为模长或者长度，并且通常用大写字母表示，比如A；另一个方向部分，即矢量从起始点到终止点所指示的路径，可以使用小写字母来表示，比如a。
为了描述矢量之间相互作用或转换，我们常用以下几个运算：
加法：当我们把两个或者多个矢量按顺序连接起来时，就得到新的矢量，这个过程称为加法。
标量乘法：这是将一个标数与每一组分成比例缩放所有组分而形成的一个新矢量。
叉积：又称外积，是一种特殊类型的乘法，它产生了垂直于原来的新矢元，这对于解析几何中的平行四边形面积求解非常有用。
点积：也就是内积，是另一种特殊类型的乘法，它产生了沿着原有的方向上的标数量度。
这些运算规则被编码成了数学表达式，这些表达式即为我们所说的“向列公式”。
向列加法
模型推导
设 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz) 是两条不同的直线上的一对箭头，则他们之间构成的一个新直线上的箭头 C 的坐标由下面的方式获得：
C = A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)
应用举例
例如，如果你想知道从城市A到城市B再到城市C这段路程，你可以分别计算AB和BC，然后将它们相加得到AC。这就涉及到了给定两条距离之后如何合并以获得总距离的问题。而这种合并操作正是利用了上述提到的向列加法这一vector formula。
标签乘以vector formula
模型推导
如果你想要改变某个arrow(A) 的size，那么你只需定义一个scale factor k，然后对每一组分都进行同样的变化即可。这个操作被叫做"scalar multiplication"。
A' = k * A = (k * Ax , k * Ay , k * Az)
应用举例
假设你想要缩放某个图像。你可能会选择调整图像尺寸，但保持其原始比率不变。如果你的目标尺寸比原始尺寸大三倍，那么你应该取出每一点P(x,y,z)，然后按照(3x/1)(3y/1)(3z/1)重复绘制它。这就是通过Scalar Multiplication实现图片缩放功能的一种方法之一。
叉乘(vector cross product)
模型推导
假设V1=(vx1,vy1,vz1), V2=(vx2,vy2,vz2)，那么V1 x V2= N 代表N垂直于V1 & V2平面，其模长|N|由下面的方程给出：
|N|= |V1||V2|sin(theta)
其中theta是夹角之间两个vector.
应用举例
当研究力场时，如电磁场的情况，当两个力field交汇处，他们会产生第三种力field—磁场—作为交汇结果。此时该磁场存在于这二者交汇面之上的区域，以此反映出了交汇力的相互作用。这背后的mathematical model便依赖于叉乘(vector cross product).
点乘(vector dot product)
模型推导
如果我们已经有了两根不同长度但相同方向长度L和M，以及它们各自指出的箭头D_0 和 D_0',那么 L · M 可以这样定义:
L · M := ||L|| ||M|| cos(theta)
其中theta 是L 与M 之间夹角
应用举例
例如，在光束传播过程中光速c保持恒定，但由于空气密度变化使得穿过媒质时能见度发生变化，因此需要考虑光束与媒质表面接触角θ以及媒质折射率n，以确定折射后光束路径，即使用dot product 来处理这种情况。
以上内容只是概述了一些基本概念，并简单介绍了一些应用实践。如果要进一步探讨其他相关理论或实际应用，将继续扩展本文内容。