在数学和物理学中，向量是用来表示方向和大小的有序集合。它们可以帮助我们理解空间中的运动、力和其他矢量性质。向量公式是描述如何处理这些矢量的基本工具，它们允许我们计算投影、相互之间的角度以及进行各种复杂的矢量运算。
解析几何是一种利用坐标系来解决几何问题的手段。在二维平面上，我们使用笛卡尔坐标系，将每个点表示为(x, y)对；在三维空间中，我们则使用行列式形式，即(x, y, z)，其中x代表横轴上的位置，y代表纵轴上的位置，z代表深度或高度。
当我们想要确定一个向量与另一个向量之间的角度时，就需要用到一种名为“点积”的操作。这是一个将两个长度相同且单位同方向的向量相乘得到一个标量值（即没有方向）的过程。例如，如果有两个单位长度且朝同一方向移动的人A和人B，他们之间所占有的空间会是90度，而如果他们朝着不同的方向走，那么这个数值就不再是1了。
更具体地说，如果有两个3D空间中的任意两条线段OA 和 OB，其中O 是它们共有的起始点，而A 和B 分别指示线段末端，则这两条线段之间形成的一个角称作夹角θ。如果要找到这个夹角，可以通过以下方法：
设 OA = (x1, y1, z1)，OB = (x2, y2, z2)，
那么根据法科尔定理，这两个向量间夹角 θ 的余弦等于它们点积除以其各自模长之积。
[
cos(\theta) = \frac{OA \cdot OB}{|OA||OB|}
]
此外，当我们试图找出某个给定的三个维度上的任何一点P 与直交于该直观平面的直线AB 之间距离时，也会涉及到投影操作。在这种情况下，我们首先确定平面上的一条垂直于P 到 AB 直线（即被称作N 的正交分配律）并把它展开成(0,-a,b)，然后从P 开始沿N 向下延伸一条射线，并从射线上取最接近AB 的那个点Q 作为新的终止点。
最后，从Q 到原来的P 产生的是所需的一个垂直于原平面的新坐标系，使得原来的所有既能用旧坐标也能用新坐标表示的情况保持不变，只不过现在我们的基底已经改变了使得第三维能够独立存在而不会受到影响，因为它与第一二维独立，是一个完全新的概念。
然而，在实际应用中，由于是基于工程学、物理学或者其他领域的问题，所以往往需要考虑更多方面，比如可能还涉及到旋转矩阵或者四元数等更高级的数学结构，但对于初学者来说，对基础知识掌握确实至关重要。