向量加法与减法
向量加法和减法是线性代数中最基本的运算，它们允许我们通过组合或解构向量来解决各种问题。假设我们有两个三维空间中的向量a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们可以通过分配律进行相加或相减：
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)
这意味着在进行加法时，我们将对应于同一坐标轴上的分量分别相加；在进行减法时，我们将一个向量中每个分量与另一个向量中对应的分成相同单位下的负值相减。
向量点积
点积，又称为内积，是衡量两个矢势（或方向）之间关系的一种方式。它不仅能帮助我们计算两条线段之间夹角大小，还能够确定是否存在直角关系。如果我们有两个n维空间中的列矢v和w，那么它们的点积定义如下：
v · w = vᵀw
其中，vᵀ表示转置矩阵，即行变为列。
向量叉乘
叉乘又被称作外积，它用于生成垂直于给定二维平面内任意非零矢势的一个新的矢势。对于任何两条非平行且都不是零长度的三维空间中的矢势u和v，其叉乘结果定义如下：
u × v = |u| |v| sin(θ) n̂
其中，θ是u和v所夹角之和，n̂指的是垂直于这个平面的单位矢势。
斯坦福切割定理及应用
斯坦福切割定理是一种描述多边形区域内部点与边界接触情况的重要工具。在图形学、计算机视觉以及几何学等领域，这个定理通常用来判断哪些区域是可见而哪些则是不见。这是一个基于以四元数表示旋转运动后投影后的交集面积变化来推断接触状态的手段。
高级概念：李群、李代数及其作用在物理学中的应用
李群是一类包含所有可能发生在某个特征上（如欧几里空间）的连续变换形式集合。在物理学中，它们经常用来描述物体如何受到无限小改变影响，如旋转、翻滚等。而李代数，则是这些连续群的一个数学模型，它允许研究者通过有限次操作去近似这些复杂动态行为。例如，在粒子物理学中，色场论就广泛使用了SU(3) 李群来描述强核力作用下粒子的交互过程。