向量公式及其应用概述
在数学和物理学中，向量是用来表示有方向和大小的量。它是研究空间中的运动、力、加速度等概念的重要工具。向量公式是一组用于计算两个或多个向量相互作用的数学表达式，它们对于理解各种现象至关重要。
向量加法与标量乘法
首先，我们需要了解如何进行向量的加法和标算乘法。在三维空间中，如果我们有两个向量A = (a1, a2, a3) 和 B = (b1, b2, b3)，那么它们之间的差可以通过以下方式得到：
C = A - B
= (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)
此外，一个标算数k与一个三维向量A相乘，其结果为 k * A = |k| * |A| * direction(A)，其中direction(A)是指示符矢表示了原矢所在方向，|k| 表示标算数的绝对值，而 |A| 代表矢长。
法线投影公式
当讨论光照模型时，我们常会遇到光源到物体表面的距离以及这个点上的反射率问题。这就涉及到了以某个点为中心，沿着另一个给定方向形成平面的概念，这种情况下我们使用到的就是平面-点-方向（PVD）的法线投影公式：
PVD(A,B,C) = P + t * direction(B-A)
其中：
P 是直线AB上经过点C位置的一个新的点。
t 是使得P满足PVC平行于ABC平面的参数。
direction(B-A) 是从B到A形成的一条直线。
例如，在图形渲染中，当要绘制球体时，可以利用这个公式来正确地处理光照效果，使得不同区域按照其朝向而不是平均分配光照，从而增加画面上的立体感。
点积与叉积
在物理学中，如电磁学领域，对于描述两种场（如电场和磁场）之间互动的情况，就需要运用到点积（dot product）与叉积（cross product）。
点积
如果我们有两个三维向量 A 和 B，那么它们之间的点积定义如下：
A · B = |A||B|cosθ
其中 θ 为角度。如果这两个矢分别代表了力的状态，则他们之成比例的是力合成后的力模，并且方向随之改变。
叉积
另一方面，如果我们想找出两种力的交叉产品，即这些力的交叉位移或者说是产生转动矩，那么使用叉積是一个好的选择。具体来说，如果有三个相同单位长度、同时起始于同一点并且终止于同一点但各自垂直于对方的话，他们将构成一个右手螺旋坐标系。如果把这三个分别称作i,j,k，则任意一组轴心垂直则该轴心可写作:
i × j × k 等于正弦函数sin(θ)
j × i × k 等于负弦函数-cos(θ)
利用这些规则，可以很容易地找到任何两个非零实数内夹角theta 的正弦值。在实际应用中，比如建筑工程里，当考虑结构物件时，用来分析转矩的问题也是非常关键的一环，因为根据牛顿第三定律，这样的分析能够帮助确定那些可能导致结构破坏的地方，从而采取适当措施防止事故发生。
以上提到的几个基本概念，以及它们如何被广泛应用，是学习“向量”这一数学工具过程中的必不可少内容。掌握了这些基础知识之后，无论是在科学研究还是工程设计上，都能更有效地解决复杂问题，同时也能够更好地理解自然界以及人类社会活动背后的物理规律。