引言
在多元数据分析领域，数据的维度往往会随着观察对象或实验设计的复杂性而增加。为了解决这种问题，统计学家们提出了多种方法来简化高维空间中的数据结构，其中包括因子分析法、主成分分析（PCA）和主成分回归（PCR）。这三种技术虽然有着共同点，但各自侧重于不同方面，其应用场景和效果也大不相同。在本文中，我们将深入探讨PCA与PCR之间的区别，以及它们如何通过因子抽取过程达到降维的目的。
主成分分析（PCA）的基本原理
PCA是一种无监督学习算法，它通过线性变换，将具有许多相关特征或属性的变量转换为一组新的特征，这些新特征称为主成分。这些主成分是根据其对原始数据集贡献最大的方差进行排序得出的，并且每个主成分都能解释一定比例的总方差。
主成分回归（PCR）的基本原理
相比之下，PCR是基于假设模型的一种方法，它结合了统计推断和机器学习技巧，以便更好地理解复杂关系。PCR通常用于预测性研究中，特别是在生物医学领域，对于处理含有大量连续变量但少数目标变量的问题尤其有效。
PCA与PCR在因子抽取中的角色
尽管PCA主要用于降维，而PCR则更偏向于建模，但两者都可以被视为一种因子抽取技术。这意味着它们都会尝试从原始数据中识别出潜在的低阶表示形式，这些表示能够捕捉到原始高阶结构中的关键信息，同时减少冗余并保持重要信息。
PCA与PCR在选择因子的区别
虽然两者都是用来选择重要指标，但他们采用的策略不同。在PCA中，我们通常关注的是那些能够解释较大部分总方差变化的一个或者几个主要组件。在这个过程中，不同数量级上的PCs可能会被考虑作为候选项。而在使用 PCR 时，由于它建立的是一个线性的模型，因此我们更多地关注的是哪些特定的前导组件能够提供最佳预测能力，即使这些前导组件只解释了总方差很小的一部分。此外，PCRs 的选择还受到模型拟合质量以及交叉验证结果等多个因素影响。
PCA与PCI 在旋转后的结果上面的影响
旋转是指重新排列已经计算出的负荷矩阵以改善可interpretability 或其他目的。这是一个非常个人化的事情，因为不同的科学家可能对同样的加载矩阵有完全不同的看法。在进行旋转时，有几种常见方法，如Varimax、Quartimax等，但是对于PCA来说，这一步骤并不强制执行；然而，在使用 PCR 进行建模时，如果需要进一步优化模型，那么旋转就变得更加重要，因为它可以帮助我们更好地理解哪些独立变量对于响应变量起到了作用。
结论
综上所述，无论是通过PCA还是PCI，我们都可以利用它们作为一种工具来寻找那些能够最好地描述我们的高纬度数据分布方式的小集合。如果你想要简单快速地获得一些关于你的高纬度空间内协调模式的话，你应该考虑使用 PCA。但如果你正在寻找一个可以让你构建定量预测模型并同时减少过拟合风险的手段，那么 PCI 就是一个很好的选择。无论采用何种方法，最终目标都是找到那个既简洁又准确反映真实世界现象的小型表达式，从而促进理解并支持决策过程。