在数学领域，尤其是在几何学和代数学中，存在着两个重要的概念：射影平面和欧几里空间。这些概念对于理解很多数学问题至关重要，它们之间也存在一些关键的区别，这些区别是本文要探讨的话题。
首先，我们需要了解什么是射影定理。射影定理是一种用于描述两条直线相交情况的一般性质。在一个任意维度的欧氏空间中，如果有一条直线穿过另两条直线，并且这三条直线不是共点，那么它们会形成一个非空、有限集。这意味着至少有一个点属于所有三条直线，这个点被称为交点或共点。如果没有这样的交点，则这三条直线是并行的，即它们永远不会相遇。
接下来，让我们来看一下射影平面是什么？在几何学中，射影平面是一个具有无限多个点和无限多对无限长边（即直线）的拓扑结构。它可以看作是一个普通二维向量空间，但没有内积，因此不能进行长度测量。然而，它仍然具有一些基本的几何性质，如角度等。而这个特性使得它成为许多应用领域中的非常实用的工具，比如地图投影、摄像测量以及计算机图形等。
而欧几里空间则完全不同于射影平面。在一种最常见的情况下，即二维或三维Euclidean空间（简称2D/3D Euclidean space），它包含了内积，而不像射影平面的那样，没有内积。这意味着我们能够通过距离和角度来定义正切函数，从而进行精确测量，并解决有关圆周率的问题。此外，在这些类型的空间中，还有其他更多关于夹角、面积、体积等概念都可以很好地定义出来。
现在，让我们进一步探讨这两个结构之间的一些关键差异：
内积：在Euclidean space 中，每个向量都拥有一个与之相关联的一个标量值，这个值代表了该向量与自身成比例缩放后的长度。但是在Euclidean plane 和 higher-dimensional Euclidean spaces 中，由于没有明确定义“长度”，因此无法直接用这种方式计算距离或大小。而在项目ive geometry 中，因为没有这种标量乘法，所以无法这样做。
角度：虽然从某种意义上讲，任何一组确定性的四元组(x, y) 都能唯一确定一个坐标上的位置，无论是否使用euclidian 或 projective 方法，但由于projective geometry 不涉及到长度，所以不能说其中任何一对(x, y) 在projective plane 上彼此垂 直除非你已经选择了某种具体方法去将projective plane 映送到euclidian plane。
画图能力：因为projec-tion 是基于可视化抽象，因此允许我们以一种更为紧凑且可能更加美观方式绘制图形，同时保留原有的几何信息。
变换操作：例如，对于高斯-布莱克曼投影来说，我们必须重新映设整个图片，以便保持其正确的地理尺寸关系；但如果使用的是阿基米德投 影，我们就不必担心这一问题，因为每一点都会被正确地映设回原来的地方，只不过我们的尺寸单位会改变而已。
应用范围：Projective Geometry 的应用包括艺术设计、工程设计、物理学中的光电效应分析以及心理学中的感知研究等；而Euclid ean Geometry 则广泛应用于建筑工程设计、大型机械设备制造、高级物理理论模型构建等领域。
总结来说，尽管两者都是数学基础，但是由于不同的假设条件和数据处理方法，他们各自适用的场合也大相径庭。在实际应用中，不同的问题往往要求采用不同的解决方案，而选择哪一种取决于所需解决问题所需考虑的事项。