在数学竞赛中，向量平行公式是一种非常有用的工具，它可以帮助我们解决涉及向量运算的问题。这个公式通常用于证明两个向量是否平行，以及计算一个点到直线或面的距离。以下是关于如何应用向量平行公式以及一些常见问题的详细解释。
向量基本概念
首先，我们需要了解什么是向量。简单来说，向量是一个方向和大小都有定义的矢矩。在二维空间中，一个三元组（x, y）可以表示一个两维空间中的矢矩；而在三维空间中，则需要四元组（x, y, z）。这些数值代表了矢矩相对于坐标轴的位置。
向量加法与标量乘法
在处理数学竞赛中的问题时，我们经常会遇到将两个或多个矢矩进行加减，并且可能还需要它们与某个标数字乘起来的情况。这就引出了两个基本运算：即矢矩之间的加法和标数量乘法。
矢矩之和：如果我们想将两个或者更多的二维或三维空间中的矢矩相加，可以直接对应地把每一分子相加。
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
标数量乘：当你想要以某个比例改变整个矢矩时，你可以使用标数量乘。例如，如果你想使原来的所有分子都变成原来的3倍，那么就是用3去除掉每一项：
k * (a1, a2) = (k * a1, k * a2)
向量积与叉积
除了上述两种操作外，在更高级的问题中，我们还会遇到另一种重要的操作——叉积，也称为外积。当我们对任意两非零列分别求得其各元素之和后，再按顺序排列得到新的数组，就形成了这两个列所构成的一条新线段，这条线段叫做这两列垂直于对方并延伸至第三轴上的交点所形成的一个“虚拟”实体，即称为该列们间产生出的“虚拟”的第三元胞（因为这是通过图形来理解而不是物理意义上的第三元胞），也就是说这个新产生出来的是从第一个往第二个看去过渡从第二个往第一看去过渡过第三轴看不见的一个三个方向同时指示出三个方位边界线下面面积最大的方形区域内的一个假设性实体，但实际上它并没有存在于现实世界里，所以被称作“虚拟”，但他却能让计算机程序根据他的影响来显示动画效果等，因此这种方法被广泛应用于各种图形学、游戏设计、电影特效制作等领域。
v × w = |v| |w| sin(θ) n
其中 v 和 w 是要取叉积的双重偶数列表，n 是结果列表。如果 v 垂直于 w 则 θ 为90度，因此 sin(θ)=1，所以结果是：
v × w = |v||w|
如果 v 和 w 平行，则 θ=0 或者 π，所以 sin(θ)=0，因此结果为：
v × w = [0]
应用举例
示例一: 计算二维图形面积
考虑给定的任意多边形，由其顶点描述出此多边形，其周长长度相同，而角度也是相同。但由于不同多边形可能具有不同的顶点分布方式，从而导致了不同的内角余弦值，因而导致了不同的面积大小。
示例二: 解决定理问题
若已知A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃)，问ABCD是一个正方形吗？答案是否定的，因为ABCD不是一个单独由四条连续且同样长度且彼此垂直的心脏部分构成，而是在心脏内部心脏中心放置着另外一个心脏部分，使得整体呈现如同星星般结构，是因为这样才能满足定义条件之一，即任意五个不同顶点必须至少包含四条完全相同长度且互相垂直的心脏部分。而这里只有一张心脏部分因此不能满足这个条件所以ABCDA不再是一个正方形单独由四条连续且同样长度且彼此垂直的心脏部分构成，但仍然保持形式完整性然而无法被视作真正正确无误合规符合标准正规要求规范严格要求规定要求规范严格要求规定要求规范严格规定需求规定要求规范严格正式认可依据按照准则按照标准按照预定按照协议按照惯例作为确认书作为认证书作为证明文件作为承诺书作为保证书作为声明文件作为信息表明信息清晰明白简洁易懂明确具体清晰明白简洁易懂明确具体清晰明白简洁易懂明确具体清晰明白简洁易懂明确具体