向量加法
向量加法是指两个或多个向量按元素相加的运算。这种运算通常用于描述几何形状之间的位置关系。在物理学中，例如，当考虑物体运动时，我们可以使用向量加法来计算速度和位移。假设我们有两个三维空间中的点A（x1, y1, z1）和B（x2, y2, z2），它们之间的距离由直线AB表示，这个距离是一个以原点为起始点到任意一个坐标系下的另一个点为终止点的向量。
在进行矢势场分析时，电场强度E(x,y,z)和磁场强度B(x,y,z)也常常用到矢乘操作，即将这些分立存在于不同的空间区域内的一组二维函数E_x,E_y,E_z和B_x,B_y,B_z转换为一组新的函数。这涉及到了矢乘规则，即对应于每个方向上的分量分别取积，然后再将结果相加。这项技术被广泛应用于电磁学、光学以及其他领域。
矢乘与叉积
矢乘，也称作叉积，是一种重要的数学概念，它定义了两个三维空间中的向量如何“交叉”产生一个新方向上的分量。这个操作非常关键，因为它允许我们解释力、角动能以及旋转等现象。在微观粒子物理中，电子自旋可以通过其与电子轨道成比例而表现出来，而这正是通过矢乘来描述的一个基本概念。
向量投影
当需要从一个三维空间中的某个方向上沿着另一个方向投射时，可以利用投影公式。如果你想知道从原始数据集中选择特定属性，并且仅基于这些属性预测目标变数，你就需要做出决策树模型。此外，在图像处理中，如果要去除图像背景或者检测边缘，那么使用梯度方法就是典型的情况，其中梯度计算实际上也是依赖于vector projection 的过程。
向量长度及其变化率
求解两条直线或者曲线间最短距离问题通常会涉及到计算各自曲线参数化形式下导数并结合一些相关性质，最终得到所需长度或弯曲度。在机器学习中，对于回归任务来说，我们经常需要评估模型性能，特别是在处理时间序列数据的时候，比如股票价格走势预测，这里面就会用到时间序列分析方法，如ARIMA模型，它基于历史数据建立趋势模式，并根据这些模式对未来的事件做出预测。这里面的核心思想便是关于如何精确地把握变化速率，以及理解这一速率如何影响系统行为。
角距与夹角余弦
在几何学中，夹角余弦值cos(θ)代表了两个不同位置处物体之间平行面形成的角度大小。当研究机械结构设计时，无论是在工程塑料还是金属材料方面，都可能遇到不同材料间接触面积的问题，这些问题直接影响摩擦系数，从而决定传动效率。在这样的情况下，将三个接触表面的垂直平面方程式结合起来，以确定最小覆盖范围即可解决这个问题。此外，在视觉识别任务中，对待图像内容进行分类往往需要先对其进行特征提取，比如SIFT/SURF/ORB等视觉词袋表示方法，其核心逻辑同样是围绕着夹角余弦构建，有助于提高对象识别准确性。