向量公式的基础
在数学中，向量是用来描述空间位置和方向的一种数学工具。向量可以通过其大小和方向来定义，它们在三维空间中表现为一组数值序列，每个数值代表一个坐标轴上的分量。在图形学中，向量被广泛应用于场景的渲染、光照计算以及物体的运动模拟等领域。
矩阵表示法
当我们需要处理多个同时发生的线性变换时，比如旋转、缩放或平移，我们通常使用矩阵乘法来描述这些操作。这种方法称为矩阵表示法。在这个方法中，每次变换都对应一个特定的4x4（对于3D空间）或3x3（对于2D空间）的方程数组，这些数组被称作矩阵。
线性变换与向量公式
线性变换是一种将输入矢量映射到输出矢量的函数，其中输出矢标仅由输入矢标决定。简单来说，如果你有一组原始数据并应用了某种规则，然后得到了一组新的数据，那么这就是一种线性变化。在图形学中，许多基本操作，如移动对象或者改变它看起来更大一些，都可以视为不同的线性变化。
矩阵乘法与向量加减运算
图形学中的所有复杂效果都基于基本几何运算：点积、叉积和投影。这意味着当我们想要实现更复杂的效果时，我们可以从这些基础上开始构建，并将它们相结合以创建更高级别功能。例如，当我们进行透视投影时，我们需要考虑每个像素从世界坐标系到屏幕坐标系所经过的路径，并且必须确保正确地调整颜色信息，以便保持视觉的一致性。
两个重要概念：行列式和逆矩阵
行列式是一个非常有用的概念，它提供了关于一个方程是否可解以及如何解的问题答案。如果行列式非零，则方程有唯一解；如果行列式等于零，则可能存在无限多个解或者没有任何解；如果行列式不存在（比如由于除以零），那么问题是不合理的。此外，对于任何非奇异方阵，其逆矩陣总是存在并且具有特定属性，即它能够恢复原来的尺寸。当我们试图找到一个未知元素或者求出系统的一个解决方案时，可以使用逆短陣这一工具。
应用实例分析
使用直观方式理解如何将线性的关系表达成标准形式——即通过选择适当基底，将任意二维或三维空间中的点映射到另一个相同维度的点，是一种有效学习过程之一。例如，在游戏开发中，要使玩家看到远处的地面纹理而不是立体格子状物体，就需要通过一定程度上的透视压缩，使得远处的地面看起来像是扁平板一样，而实际上却是真实地呈现在地球表面的曲率情况。这就涉及到了深入理解各类光照模型，以及如何利用相关数学知识去实现这样的效果。
结论与展望
在现代图形学研究领域内，离散化技术已经成为提升性能的手段之一。但正因为如此，这也带来了新的挑战，因为现在不再能直接依赖精确计算，而必须考虑采样错误及其影响。一方面要保持准确度，一方面要保证效率，这两者之间似乎形成了一条难以逾越的小径。而为了克服这个困境，不断探索新颖之思和创造力至关重要。
参考文献：
[1] 李欣宇, 张国栋, 等.(2019). 图像处理原理[M]. 北京: 清华大学出版社.
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