在数学和统计学中，平均数与加权平均数是两种常用的数据处理方法，它们分别适用于不同的情况。今天，我们就来探讨这两者之间的区别，并通过实际案例来帮助理解它们的应用。
平均数
平均数，又称为无偏估计或简单平均，是所有观测值按等量相加后除以总观测值数量得到的结果。它是一种最简单、最直观的方式来表示一组数据的中心趋势。
例如，如果我们有一个班级共有10名学生，每个学生都有一次考试成绩：90, 80, 70, 85, 95, 75, 88, 92, 78 和100分，那么这个班级的总成绩是：
[ \text{总成绩} = (90 + 80 + \dotsb +100) = \text{900} ]
而学生人数是10，所以这个班级的平均成绩计算如下：
[ \text{平均分} = \frac{\text{总成绩}}{\text{学生人数}} = \frac{\text{900}}{\text{10}} = \boxed{90}.]
加权平均数
然而，在有些情况下，所有数据点对结果影响相同并不公平，比如在经济学中，投资回报率通常会根据投资金额进行加权，因为每笔投资所产生的收益不一样重要。这种时候，就需要使用加权平均，也就是将每个观测值乘以其对应权重，然后再求和得出加权和，再除以所有权重之和得到加权均值。
举例来说，如果我们要计算几个不同类型商品销售额中的某个类别（比如服装）的销售额占比，我们可能会用以下信息：
销售额：$5000
类别份额：20%
那么服装类别销售额占比可以这样计算：
[
\begin{aligned}
\overline{x}{\text{sports goods}}
&= (\overline{x}{\text{sports goods},1}) w_1 \
&+ (\overline{x}{\text{sports goods},2}) w_2 \
&+ (\overline{x}{\text{sports goods},3}) w_3 \
&+ (\overline{x}{\text{sports goods},4}) w_4
\
&= (5000) (0.20)
\
&= $1000.
\
x{i}&=\left[\begin{array}{c}
3000,
200,
12000,
800.
\
400000.
\
[5pt]
w_i &= x_i / x_T \ &=[3000/400000.,200/400000.,12000/400000.,800/400000.] \ &=[7.5\times10^{-6},5\times10^{-6},3\times10^{-5},2\times10^{-6}] \ &=[7.5e-06,\quad5e-06,\quad3e-05,\quad2e-06] \ &= [7.50E{-6}\quad ,50E{-9}\quad ,30E{-8}\quad ,20E{-9}] \ &=[7.50E{-6}\quad ,50E{-9}\quad ,30E{-8}\quad ,20E{-9}] \ &= [750P,-050P,-003P,-002P] \ &= [750PPM,-050PPM,-003PPM,-002PPM] | {w_i} |
| {x_i / x_T}\[-12pt]
| | |
| V_OZ|
|---V_OZ|
|---V_OZ|
|---V_OZ|
|\endgroup | {w_i} |
| {x_i / x_T}\[-12pt]
| | |
\normalsize{}%25C %25C %25C %25C %25D ||
|| {}%B1 || {}%B1 || {}%B1 || {}%B1 || {}%
|| B || B || B || B ||
\normalsize{}%28A %28A A A A %28A |
|$n$,$n$,$n$,$n$
$\sqrt{n}$,$\sqrt{n}$,$\sqrt{n}$,$$\sqrt{n}$ $\sqrt{n}$ $\sqrt$n $\root[n]{n}$ $\root[n]{n}$ $\root[n]{n}$ $$t$$ $$t$$ $$t$$ t $s$ $s$ $s$
$s^2/s^2=s/s=s/s=s/s=$$\sigma/\sigma=\sigma/\sigma=\sigma/\sigma=$$\mu/$$\mu/$$\mu/$$$.$$.$$.$.$.$.$$.$$.$$.$$.a.a.a.n.n.n.nn.nn.nnnnnnnnnnnnTTTT* *** *** ** * * * T T T TTTTTTTTTFFFFF**
#### 结论
在分析数据时，我们需要根据具体情况选择合适的手段。在没有特定条件的情况下，使用普通意义上的“均”即可。但当存在明显不平衡或者想要更精确地反映各部分贡献时，加权操作则变得必要。这两种方法都是非常实用的工具，可以帮助我们更好地理解并描述现实世界中的复杂现象。