什么是平均数？
平均数是一组数据的代表性值，它通过将所有数据相加，然后除以总个数得到。例如，如果有5名学生，他们的分数分别为90、85、95、80和75，则这五个分数的平均值是$\frac{90+85+95+80+75}{5}=87$。这个过程可以用公式表示为：
[ \text{平均值} = \frac{\sum x_i}{n} ]
其中$x_1, x_2, ..., x_n$是$n$个数字，$\sum x_i$表示这些数字之和。
如何应用平均数？
平均值在统计学中非常常见，因为它提供了一个简洁直观的方式来描述一组数据的情况。例如，在教育领域，班级成绩或国家GDP增长率通常会被报告为它们的平均水平。这有助于快速了解整体趋势，而不必深入每一个具体数据点。
为什么需要加权平均？
有时候，我们处理的是不同类型或大小类别内的一组数据。在这种情况下，每一项都可能具有不同的“重量”或影响力，这意味着我们不能简单地使用等权重对所有项目进行平滑处理。例如，如果我们想要计算一群人的收入，那么高收入人士应该比低收入人士拥有更大的影响力。
如何计算加权平均？
加权平均是在考虑到每个观察到的变量特定“质量”的情况下计算出的数学概念。在加权求和之后，将其除以总质量得到最终结果。数学上，可以用以下公式表示：
[ w_{i}x_{i} + w_{2}x_{2} + ... + w_{n}x_{n}, n = 1]
其中$w_i$称为第$i$项所对应的“质量”，且必须满足条件$\sum w_i=1$. 如果没有约束的话，加权因子可以取任意非负值，但为了使得结果更加合理，我们通常希望它们代表某种实际意义上的“重要程度”。
什么时候使用哪一种？
在许多情况下，我们可能会同时遇到需要单纯平滑以及考虑各项不同重要性的需求。在这种情况下，最好先尝试使用普通的算术均值，并根据需要进一步调整。如果发现存在明显偏差或者特殊情境下的不公平，则可以转向使用加权均值，以确保每部分都能得到适当的地位和价值评价。
结论：两个工具并存
平均数与加权前面都是统计学家手中的强大工具，它们能够帮助我们从复杂的大型数据集中提取出有用的信息。但是，不同的问题和场景要求不同的解决方案，有时简单直接就行，有时则需要更多细致周到的考量。而无论何种选择，都需基于问题本身及所涉及变量之间关系来做出决策。此外，由于两者皆可作为实用的统计指标，所以在分析过程中灵活运用这两种方法对于掌握全貌至关重要。