向量公式及其运算规则简介
在数学中，向量是一种用来描述方向和大小的数学对象。它们广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。向量公式是指描述向量相互作用的一系列定律或公式，它们对于解决涉及多个向量的问题至关重要。
向量加法与减法
首先，我们需要了解如何将两个或多个向量相加或相减。这可以通过将各自的分量分别相加（减）来实现。在二维空间中，如果我们有两个长度为2的列矢（即由两组数值构成的列矩阵），那么它们之间的差可以这样计算：
v_1 = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}
v_1 + v_2 的结果是：
\begin{bmatrix} a+c \\ b+d \end{bmatrix}
而 v_1 - v_2 的结果是：
\begin{bmatrix} a-c \\ b-d \end{bmatrix}
点积
点积，又称内积，是一个用于测度两个向量夹角大小以及它们模长乘积的一个操作。如果我们有两个三维空间中的实数向量 a = (a_x, a_y, a_z) 和 b = (b_x, b_y, b_z)，那么它们之间的点积定义如下：
a · b = |a| |b| cosθ
其中，θ 是这两个矢与 x 轴之间夹角，而 |a| 和 |b| 分别表示这些矢在三维空间中的模长。
例如，如果我们有以下两根三维矢：
a = 3i + 4j + k,
i^2 = j^2 = k^2 = 1, ij=kj=ki=jk=0;
ai·bj=a·bj=b·aj=(3i+4j+k)·(5i+6j)
=(3)(5)+(4)(6)+(k)(k)=15+24+k^2=k^2.
由于 k²=1，所以 ai.bj=a.bj=b.ai=15+24+1=40.
叉乘
叉乘，又称外积，是一个用于计算并确定给定线段上的单位法线矢，以及它与另一个线段产生了多少数量级。其定义如下：
如果我们有三个实数坐标轴上的实数系数 u、v 和 w，则对应于这些系数形成的行矢 U 与 V 相叉乘得到 W，这里的 W 在标准基上展开为：
Wx Uy Vz Wy Uz Vz Zw Ux Vy Uz Vx Wy Uz Zx Uy Uz Vx Vy Uz Zy Uy Vz Xz Uy Vx Vy Zu Yz Uy VX Zy Us Xy Vs Xu Yz Us Xy Vs Zu XS Vu Ys Us Xt Ys Vs Zu XS Yu VS Xt As XT YT VS Zu XS Yu VT AS XT YT VS Zu XT YT VS Xt As XT YT VT AS Xt As VT AS XT VT AT US XR VR SU XR VR UT AR UT XR VR US XR VR Ut Ar Ut XR VR UT AR Ut Ar Ut At AR At As Lt Rr Qt St Rs Rt Qt St Rr Qt Lt Lt RS RT LT QT ST LT QS LS RS RT LS RS LS QL RL SQ RL QL SQ RL SL QT ST QS LT QT ST LT QS LS SL LQ LL LQ LL QQ LL QQ QQ LL SS RR SS RR SS RR SS RS SSS SSR SSR SSR SSR SSSS SR SR SR SR SS SSTT SSTT TTTT TTST TSTT TS TT TS TT TS TT TTS TTS TTC TTC TTC TTC SSC SSC SSC SC SSC SCC SCSC SCC CSC CCCC CCCT CCTC CTCC CTTC CTCT CCCC CCC CCC CCC CCS CCS CSS CS CS CSS CCS CS CSS CS CSSCSS CCSSS CSTS CSTC STCS SCTC SCSC SCCS SCSC SCSI CSI CSI CSI CSI CI CI CI CI CI CIS CISCSI CISCSI CISCSI SCI SCI SCI SCI SI SI SI SI ICIICI ICIIC IIICI IIIC IIIII IIII IIIIII IV IV IV IV IV IIV IIIV IIIV IIIIIIII