在数学和物理学中，向量是一种重要的概念，它可以用来表示位置、速度、加速度等各种物理量。向量之间的关系也非常重要，其中最基础的一个就是平行关系。在讨论向量平行公式之前，我们需要先了解什么是平行。
平行与垂直
在几何上，当一个线段与另一个线段完全重合或者完全不相交，那么这两个线段就是平行的。如果两条线或面并非完全重合但始终保持恒定的角度，即使它们有一部分相交，也可以说它们是彼此平行的。在三维空间中，这个概念仍然适用，只要两条直线或面不会有任何交点，并且始终保持一定距离，就可以认为它们是平行的。
向量作为几何对象
现在我们将这个概念应用到向量上。当两个矢量（通常指具有大小和方向的矢标数值）满足某些条件时，它们被称为“垂直”或“正交”。如果两个矢量同时满足以下三个条件：第一，不共享同一方向；第二，在二维空间中的情况下，其余矩阵组成一个单位矩阵；第三，在三维空间中的情况下，其余矩阵组成一个单位旋转矩阵，则这些矢标数值对应于其几何意义上的垂直性。这意味着在二维的情况下，如果你考虑的是水平和竖直坐标轴，你会发现水平方向与竖直方向形成90度角。而在三维中，想象一下X-Y轴上的任意一点Z轴上的反射点所构成的XYZ立方体内的一条边，它们都是互相垂 直。
向量积
为了更好地理解这两个矢标数值是否真正“垂直”，我们引入了一个称为“叉乘”的操作。它产生了新的矢标数值，与原始投影出的结果恰好是一个垂直于原来的新矢标数值。这意味着如果你从3D空間裡選取兩個不同的非零線維，然后將這兩個線維做叉乘，你會得到一個與這兩個線維都不是共軛且不是零長度的新線維，這樣就能確定這兩個線維是否真的「真實」的「正交」。
向量积及其规则
当我们谈论叉乘，我们必须知道每个分子符号代表的是什么。对于2-D 空间，我们使用 x 和 y 分别代表我们的横坐标和纵坐标，而 z 通常不参与计算。但是在 3-D 空间里，每个分子符号分别对应 x, y, 和 z 坐标系。当我们进行叉乘时，我们首先要确保选择正确的一对分子，以便能够生成出另一个独立于原有的分子的新分子，这样就能够确定他们是否真的「真实」的「正交」：
如果 a 是 (a1, a2) 并且 b 是 (b1, b2)，那么 a × b 的结果将会是：
c1 = a2 * b3 - a3 * b2
c2 = a3 * b1 - a1 * b3
c3 = a1 * b2 - a2 * b1
对于给定的三个元素数组 [a,b,c] 来说，其中 i,j,k 表示 x,y,z 坐标系，对应元素 ai,bjck 组成了另外一种表达方式。
当然，由於我們從無限多種可能選擇來決定x,y,z各自對應著哪一個數字時，因此我們總是以已知情況為基準來進行計算。如果x,y,z按順序排列則其對應為前後者之間的地方，這樣就能夠找到所有組合並最終產生結果。但當我們試圖解釋它們如何結構化以及它們之間建立關係時，我們開始注意到一些奇妙的事情發生了。
另外，當進行計算時，要注意因次法则，因为即使变换顺序改变，但是最终得出的结果应该是不变。这保证了我们的算法总是一致可靠。
结语
因此，当我们想要判断两个未知长度、未知方向，但已知大小及方向（即所谓"无穷大"）长度为 k 的 Vector A 与 Vector B 是否全等（即相同），而这些 Vector 都来自同一 Dimensionality 的 n 维空间中，并且 A 垂 直于 B 时，可以通过以下步骤检查:
首先，将 Vector A 作为参数，将 Vector B 作为参数执行一次叉乘运算，然后检查该运算后的结果是否全等于 zero vector（0）。如果这是真的，那么根据定义，这意味着 Vectors A 和 B 在 n 维空间中的某些方面存在特殊关系——即他们位于不同面的同一直线上，但并不沿着同一直线移动，而且不存在任何共同点，使得只有这样才能证明他们之间没有共同点，从而推断出A和B之间存在一种特别强烈的地理特征——因为只存在这种特征，所以A必然穿过B，反之亦然，他们正在被重新排列以形成新的图形形式。此过程涉及使用Vector Dot Product来比较实际长度，以及使用Vector Cross Product来比较实际方向，同时还涉及使用Vector Magnitude来比较实际大小。
最后，如果您已经掌握了以上所有知识并希望进一步探索更多关于Vectors相关问题，请记住，您已经走上了通往深入学习Worlds Of Mathmagic门槛的大道。