在数学和物理学中，向量是一个重要的概念，它用来表示方向和大小。向量可以通过几种不同的方式进行表示，其中最常用的方法之一就是使用向量公式。向量公式不仅提供了一个直观和简洁的方式来描述和操作矢量，还具有深远的影响力，在多个领域都有广泛的应用。
向量加法
向量加法是指两个或多个矢量按一定顺序相加得到新的矢量。这个过程通常涉及到对应分数部分以及模长（即长度）的计算。在实际应用中，例如工程设计、地理信息系统等场合，我们经常需要计算两条线段之间形成的一个角或者一个点与多个线段交点的情况，这些都是依赖于向量加法。
点积
点积，又称为标乘，是两个三维空间中的矢量的一种内积运算，它能将两个方向上的投影转化为一个标识符号。如果这两个矢率是垂直且平行于xy平面，那么它们的点积将会是0。这一点对于理解光照模型在图形学中的应用至关重要，因为它能够帮助我们判断不同物体表面的反射特性，从而实现更加逼真的视觉效果。
伪分数
伪分数是一种特殊类型的坐标系，其中x轴代表前进方向，y轴代表左侧方向，而z轴则代表上方方向。在这种坐标系下，可以很容易地使用三维空间中的基本运动规律，比如旋转矩阵来处理对象在虚拟世界中的移动。当我们需要描述飞机航迹、船只航行路径或者其他任何形式移动时，都可以借助伪分数来精确描述这些运动状态。
叉乘
叉乘又称外积，是三个维度空间中用于计算两个非平行向列所形成出的新矢元。这个操作非常有用，当你想要知道是否存在某一条线与另两条线成一直角的时候，就可以利用叉乘来检查。如果叉乘结果全为零，则这两组线无共同平面，即成直角。而在游戏开发中，叉乘被用作碰撞检测算法，以确定实体之间是否发生碰撞，并进一步分析接触情况。
斜率-截距式与标准形式
在二维坐标系中，有时候我们更倾向于使用斜率-截距式(y = mx + b) 来表示一条直线，而当需要更复杂的情况下的解析时，标准形式(ax + by + cz = d) 就变得非常有用。这两种表达方式各自有其优势，一般来说如果是在简单的情境下讨论斜率较大的问题，如绘制水平或垂直线，那么斜率-截距式就足够；但是在处理包含曲面积象的问题或高级几何形状时，则必须依靠标准形式以便进行准确分析。
应用领域之广泛性
向量公式并不仅限于数学理论，其强大功能使其成为许多科学技术领域不可或缺的一部分。在物理学中，用以描述力的作用；在地球测绘学里，用以计算地球表面的距离；而在电子游戏开发里，更是作为基础工具之一，用以实现动画渲染、光照模型等效果。此外，对于工程师们来说，无论是在建筑设计还是交通规划方面，只要涉及到结构分析、路网优化等问题，都不能避免运用到这些复杂而强大的数学工具——即由向量公式构建起来的人工智能、大数据挖掘甚至人工智能算法研究领域。