向量垂直的定义与性质
在三维空间中，两个非零向量可以表示为线性组合，如果它们的方向相互垂直，即一个是另一个的负方向时，它们之间存在特殊关系。这类向量被称为垂直或正交。这种关系在矢量分析、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
向量积与投影
当两个三维空间中的向量相互垂直时，可以使用叉乘运算来计算它们之间的大小和方向。叉乘结果是一个新的矢量，其大小代表了这两个原向量所构成平行四边形面积，而其方向则指出了这个新产生的平行四边形的一条对角线。如果我们将一个矢子沿着另一矢子的方向移动，则得到的是这些矢子的投影，这种操作对于图像处理和光学系统设计尤其重要。
正交基与坐标变换
在多维空间中，若有n个线性无关（即不全是0）且任意两者间正交（即内积为0）的单位向量集合，这些单位向量构成的一个基称为正交基。在这种情况下，我们可以用这些基来建立新的坐标系，以此进行数据转换或变换，是机器学习中的SVD分解、图像识别以及信号处理中的关键工具。
应用于物理学中的力矩
力矩是一种描述物体受力作用时产生转动力的概念，在物理学中非常重要。它由力的分配和距离从物体中心到力作用点决定。当力的两端分别沿着物体某一面上各自水平并且彼此相反时，并且它们所形成的平面垂直于该面上的任意一条切线，那么这两股力量就能使物体绕轴旋转，而没有改变轴心位置。这就是利用重力、推举或者拉扯等方式使船只航行或者飞机升空过程中的基本原理。
高尔顿位移定律及电磁场理论
高尔顿位移定律表明，当电流通过导体时会产生磁场，并且磁场强度随导体长度增加而增加。在实际应用中，这种现象被用于许多设备，如电动机、发电机等。而在麦克斯韦方程组中，其中一种方程描述了电磁波如何传播，它涉及到Efield 和 Bfield 之间复杂相关关系，其中B field 的变化也需要考虑到E field 的影响，因为他们都是由同源的来源引起，所以我们需要求解出E field 和 B field 间互相关联的情况，才能正确理解微观世界里发生的事情。