在数学和物理学中，向量是用来描述方向和大小的有序对。它们广泛应用于描述空间中的位置、速度、加速度等概念。而当我们处理多个向量时，理解它们之间的关系尤为重要。其中一个非常有用的工具就是向量平行公式，它帮助我们更好地掌握向量间的相互作用。
首先，让我们回顾一下什么是平行。两个线段或者直线，如果它们始终保持相同方向，那么它们就被称为平行。这一概念在三维空间中也同样适用，即使是在更复杂的情况下，比如说，当三个或更多非共线点组成一个平面时，这个平面上的任意两条直线也是彼此平行。
那么如何将这种二维空间中的概念扩展到三维呢？这正是向量平行公式要解决的问题。当两个或多个向量同时存在于同一个三维空间内时，我们可以使用这个公式来判断这些向量是否互相垂直，也就是说，它们是否构成了90度角。如果两个或更多的非零长度且不全为零且不是共线（即不在同一条直线上）的矢量满足某些特定的条件，那么根据他们所代表的事物性质，这些矢量通常会被认为是“垂直”或者“正交”的。
现在，让我带你一步步走过这个过程。你可能已经注意到了，我提到的这些都是基于几何图形，而实际上，在数学领域，我们可以通过简单而强大的算术运算来验证这一点。这便是投影法。在进行投影操作时，可以找到每个矢量沿着另一个给定矢量方向上的分数部分，然后将其与剩余部分相减，从而得到新的矢标，这将是一个垂直于原来的新矢标。
对于任何一组实数系数a, b, c，其中 a^2 + b^2 + c^2 ≠ 0，并且 A = (a, b, c)，B = (x, y, z) 是单位长（即|A|=1）且|B|=1 的，则以下等式成立：
A · B = |A||B|cosθ
这里·表示的是标准的点积运算，而cosθ则代表了A和B之间夹角θ的余弦值。如果你熟悉几何，你知道当 cos(θ)=0 时 θ=90 度，即两个轴完全重叠。如果 cos(θ)=-1 或者 1 时 θ=180 度 或者 0 度，即两根轴完全反射或重合；如果-1<cos(θ)<1 则说明 A 和 B 之间夹角介于0到180度之间，不包括0度也不包括180度，因为该情况下 cos(θ)=±1 不符合我们的定义范围。但如果 a,b,c 都不同时为零，并且 x,y,z 同样都不同时为零，则由此可得：
ax + by + c*z = |A||B|(cosθ)
由于我们想要证明 A 和 B 是不是正交，所以我们需要让 cos(θ)=0。这意味着必须确保左侧方程等式成立，同时右侧方程必须变成 0，但前提是不满足一些特殊情况，如所有系数都为负号的情形。此外，如果要求得出结果正确并保证没有除以零的情况发生，我们还需要考虑边界情况：即 A 与 B 平行但不相同的时候，以及其他一些极端情景，以确保我们的推理逻辑清晰无误。
总结来说，利用这些方法以及相关联的一系列技巧，可以很容易地确定任意数量三个以上不同长度未知数量 vector 是否能构成一种这样的系统，使得每对 vector 形成90度角。这是一种非常有效高效率的手段，无论是在工程设计中还是科学研究之中，都能够极大地简化计算过程并提高工作效率。