圆台是由一个半径为r的圆和一个高h的一直线相交所形成的三维图形。其侧面积，即环形面与平面的交界区域，通常被称作“圆台侧面积”。对于求解这个面积，我们需要依靠一套精妙而复杂的数学公式。
首先要理解的是，圆台侧面积实际上是一个定积分问题，它涉及到将环形面的每个微小部分都进行积累处理。我们可以通过将整个环形面划分成无数个极小的矩形，然后对这些矩形进行求和来近似计算总体积。在这种情况下，这些矩形代表了从底部直线到顶部弧之间的小块区域，每个小块区域都是正方形，并且在底部直线上的长度等于在顶部弧上的长度。
设定坐标系，将原点作为半径r的一个端点，将y轴方向指向该端点，使得x轴垂直于y轴并经过另一点，那么在x-y坐标系中，底部直线是x = r，而顶部弧是一个以(r, h)为中心、半径r的椭球表面。当我们沿着z = h切割这个椭球时，就得到一个以(r, h)为中心、半径h的椭球截面。这时候，可以利用二次函数公式将此截面的方程写出：
[ y^2 + (z - h)^2 = r^2 ]
这是一条关于y-z平面的抛物线，其长轴方向垂直于z-axiis。根据抛物线的一般形式 ( y^2 = 4px + q )，其中p和q分别对应两条切线斜率k1和k2，以及抛物线焦距f，我们可以得到以下关系：
[ p = \frac{1}{4} \times k_1 k_2,\quad q = f(1 - k_1^2),\quad f = \frac{h}{\sqrt{k_1^2 + 1}} ]
[ k_1,k_2 为 x-y 和 z-y 平面内切斜率，即：
[ k_{10}=\frac{\partial y}{\partial x},\quad k_{20}=\frac{\partial z}{\partial x}=-\tan(\theta)]
其中θ为切割角度，从下往上看，θ介于0到π/4之间（因为这是第二象限）。所以(k_{10}=0)且(k_{20}=+\infty)。
利用这些值，我们可以确定p,q,f三个参数。
接下来，用二次曲程公式找到焦距f:
[ f=\sqrt{\left(\frac{dy/dx}{dx/dy}\right)^{-3}-a^{-6}}=h/\sqrt{k_{20}^{12}}=h/(+\infty)=0
因此，根据此规则，该曲例变成了一个水平段，所以所有增量dA都是单位宽度即dA=hdx.
最后用这个公式整合dx从-r至+r:
[ A=int(h|dx|)=int(hdx)=int(-rrh/r)dr=int(-hrr/dr)
由于边界条件-d/dr=+/-pi/8，在-h至+h范围内：
[ A=int(-hr/r)dr=(-hrlog(|r/h|))|(from -h to +h)|=(-(log(|r/h|))(H*h))
其中H表示Heaviside步函数，当输入值超过或等于零时输出一，但当输入值低于零时输出零。
最终结果就是 ( A=-ln(abs(h/r)) * H * h )
这就是我们所寻找到的那个著名但又不那么常见使用到的"圆台侧面积公式"。