在数学和物理学中，向量公式是描述空间中的向量运算的基本工具。它们允许我们通过简单的代数操作来表示和计算空间中的距离、速度、加速度以及其他与运动相关的矢量。这些公式对于解决各种工程问题至关重要。
向量公式基础
向量是一种用箭头表示的几何对象，它既有大小也有方向。它可以表示一个点到另一个点之间的距离，也可以表示物体移动时所经历的路径。在二维或三维空间中，我们可以使用坐标系将向量分解为其组成部分，这些组成部分称为分量。
两点间最短距离
当我们想要找到两个不同位置之间最短可能路径，即直线距离时，可以利用向量差来进行计算。设有两个位置A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则从A到B的一条直线段上的所有点P(x, y) 都满足以下条件：
x = x2 - (x2 - x1)
y = y2 - (y2 - y1)
这种情况下，从A到B的一条直线段上的任意一点P与原点O(0, 0) 的距离等于AB两端点之差：
d = |OP| = |OA| + |OB|
其中 OA 是从原点O 到 A 的向量，OB 是从原点 O 到 B 的向子。
因此，最终结果就是 AB 之差，即 AB'（即AB减去OA）:
AB' = <x2-x1,y2-y1>
这个过程说明了如何通过简单地计算两个定位坐标之差来得到两地间最短距离。
向量求法
在实际应用中，我们经常需要确定某个矢子的垂直平分面上一个给定的矢子的投影长度。这一问题涉及到了正交投影，其中我们希望找到具有特定属性的一个矢子，使得它垂直于另外的一个给定的矢子，并且位于同一平面内。
例如，如果我们有两个非零共轭矢子u和v，那么它们相互垂直并且都处于同一平面内。如果w是一个此类平面的任何矢子，则w必须满足以下方程式：
u · w = v · w = 0
(u × v) · w ≠ 0
这里·代表的是欧几里乘积，而×代表的是叉积运算。这意味着如果你想找出某个以U为单位切割面的W，你应该让W与V保持正交关系，同时确保U × V与W保持非零关系，以保证他们不共线且存在于相同平面内。
应用实例分析
考虑一种情况：你想要确定在地球表面上，从纽约市中心到旧金山城市中心这段路程上每隔100公里划一个小区块。你知道纽约市中心的地理坐标是（-74.0063° N, 40.7128° W），而旧金山城市中心的地理坐标是（37.7749° N, 122.4194° W）。由于地球大致可视化为一个球体，你需要使用适当的工具如三角测距仪或者GPS设备来获取这两地点之间真实测距。但如果你只对理论知识感兴趣的话，你也能利用之前提到的方法进行推导。
首先，将地球看作是一个无限大的球体，然后取其任意一点作为起始参考框架，如北极星或赤道，然后再分别取纽约和旧金山作为新的参考框架。而后根据这些信息，以及已知的地理数据，你就能构建出必要的数学模型，并利用这些模型推导出正确答案。在实际应用中，这通常涉及复杂多变因素，比如地形变化、气候影响等，但在本质上，核心逻辑依赖于理解并应用那些关于空间结构及其相互作用的问题处理方式，这些都是基于以上提到的“最短路径”概念建立起来的系统思维模式。