向量平行公式是矢量代数中一个非常重要的定理，它描述了两个三维空间内的向量相互垂直时，构成的四边形面积与这两个向量模长之积有关。这个公式不仅有助于我们理解和计算多维空间中的距离、角度以及体积等概念，而且在工程技术、物理学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
首先，我们需要了解什么是矢量平行性。矢量A与B平行，如果存在一个实数k，使得A = k * B，那么这两个向量方向相同或者方向相反。这意味着它们共线或反共线，即它们指向同一条直线上的不同点。在实际操作中，这种关系可以通过两者的夹角来判断。如果夹角为0度或180度，则认为这些向量是平行的。
其次，关于“三个点确定一条直线”这一基本几何定理，在三维空间中，当我们知道任意三个非共线点P1（x1, y1, z1）， P2（x2, y2, z2）和 P3（x3, y3, z3）的坐标时，可以通过以下步骤找到连接这三个点形成的一个三维空间中的直线：
首先，将P1到P2之间的一条射影作为参考，然后再将P1到第三个点P3进行投影，从而得到从P1出发沿着这个射影移动到达某一点Q所经过的一段路径。然后，再根据此路径建立一个新的三维空间下的直线。
接着，我们可以利用此过程来理解如何使用“向量平行公式”。设有两个非零且不完全共线的二元子空间内的单位长度正交基矩阵U 和 V，其中每个元素都是列或者行都是以原点为始端，以原点为终端，并且具有相同数量组成N 维空間，而 U 的第 i 行是一个表示从原点出发沿着 i 个方向走到的 N 维空間上的位置标记，每个元素 u_ij 是 U 中第 j 列对应于原始基底 e_i 的分数部分。当 U 和 V 相乘后会得到一个 N x M 矩阵，其中 M 可能大于 N，但通常情况下 M 会小于或等于 N，因为如果所有可能的情况都包含在其中的话，那么结果将是一个全零矩阵，因此没有任何用途。
接下来讨论如何利用这个概念来解决实际问题，比如求解曲面上某一点到另一点之间最短路径的问题。在这种场景下，你可以定义一些参数化曲面的函数，比如 f(x,y) 或者 g(u,v)，并计算这些参数化曲面上任意两点间最短路径。此时，可以使用梯度法则来找到该最短路径，其梯度即使代表了该曲面上某一特定方向下的最大变化率。而对于高斯映射算法，它允许你直接求得给定图像区域内任意两顶点间最短路徑，不必事先知道整个图像结构，只要你提供起始和结束顶點就足够了。
最后，对比一下其他几何学工具，如球坐标系，这是一种用于描述二维 空间中圆形区域内各个位置与圆心之间距离以及角位移的一个方法。它包括径-vector r 和方位角θ，由此可推导出笛卡尔坐标系里的 x- 和y-轴坐标。但是在复杂场景下，比如当考虑光照模型时，球坐标系不足以准确描述光源和物体表面的交互关系。在这样的情况下，就需要借助更高级别的地理信息系统(GIS)软件工具，如ArcGIS 或 QGIS 等，它们能够处理更复杂的地形数据，并提供更加精确的地图分析功能，从而帮助用户更好地理解并操作地理数据。
总结来说，“向量平行公式”作为一种极其强大的数学工具，在现代科学研究尤其是在工程技术、物理学、地理信息系统等领域拥有不可忽视的地位。这不仅因为它能够帮助我们解决一些看似无法简化的问题，还因为它能够揭示隐藏在现象背后的规律，为我们的工作带来了极大的便利。不过，由于“矢量”的抽象性质以及数学逻辑严谨性，掌握并运用这种理论往往需要时间和努力。不过随着时代发展，以及科技进步，这些知识也逐渐变得越来越普及，让更多人能够享受到数学世界带来的美妙发现。