在数学和物理学中，线性方程组是指由多个线性方程构成的集合，这些方程中的每一项都是一个或多个变量的次幂，并且没有任何非线性的项。例如，我们可以有一个二元二次方程组，如下所示：
[
\begin{aligned}
2x + 3y &= 5 \
4x - y &= -1
\end{aligned}
]
为了解这个方程组，我们需要找到满足所有这些条件的 x 和 y 的值。在许多情况下，可以使用矩阵方法来求解这个问题，其中涉及到向量平行公式。
向量平行公式是一种在三维空间中两个直线之间关系的描述。当两个直线相互垂直时，这两个直线彼此平行。让我们考虑两个矢量 r₁ 和 r₂，它们分别代表这两条直线上的任意点。那么根据向量平行公式，如果 r₁ × r₂ = 0，那么这两条直线必须是相互垂直且因此也必定是平行的。
现在，让我们将这种思想应用于我们的二元二次方程组。在这种情况下，我们可以把每个未知变量看作是一个坐标轴，而每个等式则可以表示为一个与该坐标轴形成某种角度的一条新坐标轴。这意味着我们可以将这些等式转换为矢量形式，然后利用向量乘积来检查它们是否相互垂直，从而确定它们是否有共同解。
具体地，让我们定义一个包含未知变量 x 和 y 的列矩阵 A，以及另一个列矩阵 B，其中包含系数 c₁、c₂、d₁和 d₂：
[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix}, C = A * B, D = det(A) ]
其中，a_ij 是第 i 行第 j 列元素，b_i 是第 i 行元素，C 是乘积矩阵，其元素由以下方式计算得出：
[ C[i][j] = (A[0][i] * B[0]) + (A[1][i] * B[1]), i=0,1; j=0,1. ]
D 是矩阵 A 的行列式。如果 D 不为零，则称其为可逆或非奇异；如果 D 为零，则称其为奇异或不可逆。
当可逆时，即使存在无穷多个解，但总会有一些特定的实数值解，因为它提供了唯一的一种可能方向（即一条射影），从而给出了单一答案。如果不可逆，那么不可能找到任何实数值解，因为无法确定哪个方向最合适，因此需要重新考虑整个问题或者寻找不同的方法解决它。
回到我们的例子，对于上述给出的二元二次方程集，如果我们能够建立这样一种情形，使得 ( C[i][j] == 0) 对于所有 i 和 j 值，那么就证明了它们不存在共有的实数值解。但要注意的是，在实际应用中，由于浮点运算精度限制，在进行计算时往往会出现小于但接近零的情况，因此在比较结果时通常会设定一些容忍范围以避免误判。
综上所述，用向量平行公式解决高维度空间中的系统不仅仅局限于简单地判断几个矢量是否同时处在同一直角面内，它还能帮助理解更复杂的问题，比如判别几何图形间距离、检测数据集聚类边界等。此外，当遇到极端情况，比如输入数据有异常或者模型参数选择不当，直接使用标准方法可能导致失败，所以探索新的方法，如基于深度学习技术处理大规模数据集，是当前研究的一个重要趋势之一。