向量加法与减法
在数学中，向量可以通过元素相加或相减来进行操作。对于两个同维度的向量A和B，其和是指将A和B对应成分相加得到的一个新向量C，即C = A + B。而对于两个同维度的向量D和E，其差是指将D中的每个分量都减去E中的对应分量得到的一个新向量F，即F = D - E。这两种运算都是基于各个分量直接进行的，所以非常直观且易于理解。
向量乘法
除了上述的一般化四则运算外，多数情况下我们还需要考虑的是点积（内积）以及叉积（外积）。点积是通过把两个三维空间中的两个不同方向上的三个坐标分别相乘，然后将这三个乘积求平均值来表示，这是一个标量而非一个新的矢势。它用符号·表示，如：
a · b = |a| |b| cos θ
其中a、b为矢势，θ为它们之间夹角，而cosθ代表了矢势之间的投影关系。
点积公式及其应用
点积有着广泛的实际应用，比如力矩计算。在物理学中，当一力作用于一个物体时，该力所做出的功等于力的模长与作用线上距离之产。在这个过程中，我们常会使用到点积来计算结果。例如，如果有一股力F作用在一点P处，并以一定角度α朝着某个方向，那么该力的功可用以下公式表示：
W = F · r
这里r代表从起始位置到力的作用点形成的一条线段，它也是力的工作方向。此外，在工程领域，特别是在电磁学中，对于电流、电场以及磁场等矢势间存在着强大的相关性，其中许多定律都涉及到了点积。
叉乘公式及其应用
另一类重要的矢势运算就是叉乘，也称作矢产品或者叉交。在三维空间里，如果我们有两个独立无关联且互不平行的二维子空间，则这些子空间构成一个全局笛卡尔坐标系。当我们要确定这两个子空间是否垂直，以及如何确定它们之间可能产生的一个第三个独立轴时，就需要使用叉乘。
a × b = |a| |b| sin θ n̂
其中n̂即生成出来这个垂直于a和b两者轴，因为sinθ代表了两者之间夹角大小，而n̂则是垂直单位矢式。叉乘有助于解决很多问题，比如判断是否平行、寻找最小面积包围区域等实践问题。
矢阶梯函数与勾股定理
虽然一般来说，我们讨论的是几何意义下的三维空間，但当你进入更高级别的地理信息系统(GIS)或地图投影理论的时候，你会遇到更多关于多边形面积计算的问题。在这种情况下，你必须利用一些特殊的手段比如矩形梯形规则来逐步累计所有面片表面的面积，从而精确估计出整个复杂多边形内部真实覆盖范围。
矢斜率方程与极坐标转换
在分析曲线时，有时候我们需要知道某一给定的曲线在特定位置处斜率如何。如果你已经知道了一条曲线其x-y方程形式，那么根据偏导数概念，可以很容易地找到任意一点沿曲线所需斜率。但如果你仅仅有极坐标描述你的图象，那么就要借助其他方法，如偏导数链式法则，将极坐标转换回标准正余弦(x,y)系，以便进一步处理相关分析任务。
综上所述，无论是在物理学、工程还是其他科学领域，都离不开这些基本但又深奥至极精妙巧妙得让人啧啧称奇的情感表达方式——“vector formula”。