在数学的世界中，平均数和加权平均数是两个常用的概念，它们在统计学、经济学以及日常生活中的决策过程中扮演着重要角色。今天，我们就来深入探讨这两个概念的区别，以及它们如何在实际应用中发挥作用。
平均数与加权平均数
平均数
首先，让我们来了解一下简单的平均数，也就是平等权重的算术平均值。假设有五个学生，他们各自获得了成绩为90, 85, 95, 80和75分。要计算他们班级的总体成绩，我们可以使用以下公式：
[ \text{平均分} = \frac{\text{所有分数之和}}{\text{分数数量}} ]
将这些数字代入上述公式：
[ \frac{90 + 85 + 95 + 80 + 75}{5} = \frac{425}{5} = 85 ]
因此，这个班级的总体成绩是85分。这是一个不考虑每个学生贡献多少努力就简单地把所有得分相加起来得到的一个数字。
加权平均数
然而，在现实生活中，有时候某些数据点比其他数据点更重要或具有更大的影响力。在这种情况下，我们需要使用加权平均值。这是一种特殊类型的算术平均值，其中每个数据点都被赋予了一个称为“权重”的因子，并且用这个因子乘以它本身，然后再除以所有数据点对应于它们各自权重之和。
举例来说，如果我们有一组考试成绩：90(20%), 85(30%), 和75(50%)，其中第二项得分占比最大，那么我们可以这样计算出加权平均值：
[ w\cdot x = (0.2)(90) + (0.3)(85) + (0.5)(75) =18+25.5+37.5=81 ]
[ w\cdot x / W_x =81/1=81]
这里$w$代表的是每一项得分对应到的“权重”，而$W_x$则是所有这些“weight”之和，即1.
实际案例
例如，在经济学中，加法表示一种资源（如货币）的投资或支出。如果你有100美元，你决定把40%用于股票市场、30%用于债券市场，还剩下30%用于储蓄账户，那么你的资产配置可能会像这样：
股票市场: $100 * .4 =$40
债券市场: $100 * .3 =$30
储蓄账户: $100 * .3 =$30
如果股票市面涨幅达到10%，债券市面保持不变，而储蓄利率增加到了15%，那么你最终获得的回报将是:
股票市场: $40 * .10 =$4
债券市场: $30 * .00 =$0（没有变化）
储蓄账户: $30 * .15 =$4.50
现在，让我们计算你的整体收益率：
[ (\text{股票})+\text{(债券)}+\text{(储蓄)}=(4)+(.00)+(4.50)=8.50]
为了找到你的资金配置给出的综合回报率，你必须将这三个部分相加，然后除以初始投资额:
[ r=\frac{s+b+c}{i}]
r代表返回; s代表股票; b代表债券; c代表存款;
i代表初始投资金额。
所以，
r=(\frac{(8)+(.00)+(12)}{100}=20)
即使您的基金配比主要是在储蓄上进行，但由于您也投入了一定比例到股市，您获得的大致19% 的年化收益率超过了只放在储蓄上的大约6%.
结论
通过理解并运用不同类型的人口普查样本或者资产配置模型中的几何分布，我们能够精确地量化任何单独项目所带来的贡献度，从而产生更加精确可靠的人口普查结果或财务报告。此外，由于我们的世界越来越复杂，了解如何根据不同的情况选择适当的手段变得至关重要。
最后，不仅要知道怎么做，而且还要懂得为什么这么做，以便更好地利用数学工具去解决实际问题。在日常生活、商业决策甚至科学研究中，都能见到"average"与"weighted average"这样的技术应用其力量。