向量加法和减法
向量加法是指两个或多个向量按元素相加得到一个新的向量。这种操作在物理学、工程学等领域广泛应用于场强、速度、位移等矢量的叠加。例如，在力学中，一个物体受到多种力作用时，可以将这些力的合成结果通过向量相加得到总力。
向量点乘（内积）
向量点乘，又称为内积，是两条线段的投影长度，它可以用来计算两个方向相同程度上的相关性。这一运算在电磁学中用于计算电磁波与观察者的相对运动产生的时空扭曲，而在统计学中则用于衡量两个随机变量之间线性相关性的程度。
向量叉乘（外积）
三维空间中的任意两条非平行直线有且仅有一条垂直于这两条直线的平面，这个平面的正常矢就是这两条直线所确定的矢与另一种矢之间的叉乘。在描述物理现象如旋转、磁场、角动能等方面，叉乘是必不可少的一部分。
范数和单位化
范数是定义在实数集上的一类函数，它能够赋予复杂系统以数量度。对于给定的某个几何对象，如球面或者椭球体，我们可以通过范数来描述其大小或其他特征。在数学优化问题中，范数常作为目标函数的一部分出现，用以控制解空间中的点符合一定约束条件。
线性变换及其矩阵表示
任何具有良好行为的一个坐标系下所有可能发生的情况都可由一个单独的矩阵表示。如果我们把这个坐标系看作是一个简单而标准的情形，那么它就可以被认为是一个全局变换的一个例子。而这个全局变换通常被表示为一个二阶方阵，其每一项都是从原始到新坐标系下的导航信息。