在概率论中，数学期望是一种重要的概念，它描述了随机变量取值时所期望得到的数值。这种期望是基于每个可能结果出现的概率和对应的数值之积来计算得出的。它不仅仅是一个理论上的概念，在实际生活和工程中也有着广泛的应用。
投资风险管理
投资者在决定投入资金时，往往会考虑到不同项目或资产带来的收益以及潜在风险。数学期望可以帮助他们评估这些投资之间的风险与回报关系。在没有其他信息的情况下，如果所有可能结果都有相等概率发生，那么最优策略就是选择平均数学期望最高的事务。这意味着，即使存在一定程度的不确定性，通过统计数据分析，可以做出更为合理和谨慎的决策。
随机过程分析
随机过程是时间序列数据的一种抽象表示，它能够描述随时间变化的情况。此类现象包括股票价格波动、天气变化、网络流量等。在研究这些随机过程时，利用数学期望可以预测长远内某一事件或状态出现频率，并从而进行资源分配或者规划。例如，对于电网运维人员，他们需要根据历史数据来预测风力发电设备何时能产生最大效益，这些都是依赖于数学期望来指导决策。
游戏理论中的均衡点
游戏理论研究的是多方参与者的互动行为及其影响。在一些博弈模型中，如完全信息非合作博弈（如抢先游戏）或部分信息完美无缺协作博弈（如公共品供给），玩家的行动通常被视为寻求最大化其获胜几率或利润，而这个几率或者利润就可以用数学期待算出来。而且，在一些特定的情况下，比如零和博弈，每个参与者追求自己的最佳解同时也导致一个整体上的均衡状态，这正是由数学期待推导出来的一种平衡点。
体育竞赛分析
体育竞赛经常涉及到各项比赛成绩、运动员表现等因素，其中许多都可用统计学方法进行分析。当我们试图预测哪位选手将赢得比赛时，我们首先要了解每个选手过去比赛记录，以及它们对当前比赛成败影响大小。这里面的关键就在于计算每个选手获得胜利可能性以及相关胜利带来的奖金金额，然后使用这些数字计算出各自代表该选手获胜前景价值，从而找到具有最高总体成功价值的人选，也即最有可能成为冠军的人物。这其实就是一个典型例子表明如何运用“mathematical expectation”去理解和控制复杂系统中的不确定性因素。
医疗决策支持系统
医疗领域的一个关键问题是在治疗方案设计上如何权衡各种不同的治疗效果，因为患者身体状况不同，有时候同一种疾病对于不同人来说处理起来难度并不相同。在制定治疗方案的时候医生会考虑很多因素：治愈成功率、副作用严重程度、经济成本等。如果我们将所有这些参数转化为具体数值并赋予它们相应的权重，那么就可以通过“mathematical expectation”来评价任何特定疗法是否有效，不同类型的心脏病患者接受哪一种药物治疗应该根据其过去记录来预计他们能否恢复健康，以此作为参考指南之一。
数据挖掘中的分类器评估
在数据挖掘技术中，当我们建立分类器以便区分属于某一类别还是另一类别的时候，我们通常希望我们的模型能够准确地识别出新样本所属类别。但是由于训练集有限，而且真实世界通常充满噪声，所以即使训练精良也不能保证100%准确度，因此为了评估我们的模型性能，我们需要使用交叉验证这样的方法不断调整参数直至达到最佳效果。在这个过程中，“mathematical expectation”的思想非常适用于评估测试集正确分类次数，因为这正好反映了我们的目标——让正确分类次数尽可能接近总尝试次数，这一点也是“mathematical expectation”的直接体现。