在数学中，向量公式是描述多维空间内向量操作的一套重要工具。它不仅为我们提供了计算和分析复杂问题的方法，也是工程技术、物理学、经济学等领域不可或缺的数学工具。向量公式可以追溯到18世纪，随着时间的推移，它不断发展和完善，现在已经成为线性代数和多维几何研究中最基本也是最有用的知识之一。
向量加法
在解决实际问题时，我们常常需要将不同方向上的力合并成一个总力的概念。这就要求我们能够对两个或更多个向量进行加法运算。在二维平面上，如果我们有两个任意方向的矢量A=(a₁, a₂)和B=(b₁, b₂)，它们相加后的结果C=A+B=(c₁, c₂)可以通过以下方式得到：
c₁ = a₁ + b₁
c₂ = a₂ + b₂
这就是二维空间下的直角坐标系下两种向量相加的过程。同样的原理也可以应用到三维空间或者更高维度的情况下，只不过每个分量都需要考虑额外一层或更多层。
向量减法
除了加法之外，在处理一些特定的情况时，还会涉及到减法操作。在某些场景下，比如要计算一个物体受到几个力的净作用，这时候就需要用到减法。当从一个位置移动另一个位置时，可以看作是在该起始点上施加了所有力量，然后再从这个总力中去掉其他所需除去的一部分力量。
向量乘积（点积）
对于两个不同的方向，但同样长度且相同单位标记（即模）大小的矢子，当它们同时指向正x轴方向时，其点积为最大值。如果它们完全垂直，即一条矢子沿着y轴，一条沿着z轴，那么他们之间点积为零。而当其中一根矢子完全位于另一根矢子的延长线上，则其点积取决于这两根矢子的夹角大小。此规则适用于任何类型以及数量级别不同的矢子，包括二元、三元甚至更高纬度的问题。
向量乘积（叉乘）
而当谈论的是叉乘，即“交叉”或“外部”产品，我们必须使用三个坐标来表示我们的三维世界。这种运算允许我们确定两个非平行(即不是共线)三位数组成的一个第三个新数组，这个新数组代表前两个原始数组之间形成的一个新的第三方对象，而这个第三方对象可能是一个新的无关联性的箭头或者如果你想象一下，它可以被视为形成这些初步箭头间隔区域。
矢列式
矩阵形式下的表达称作矩阵转置，是一种特殊格式化数据以便于处理数据集的一种方式，将每行改编成一列，以此反过来构造出一个全新的结构，从而简化后续求解过程，如求逆、迹、秩等方面。这是一种非常有效地改变数据表格布局以便进一步进行统计分析的手段。
项目-分配定理
最后，不可忽视的是项目-分配定理，该理论给出了如何根据已知信息准确地找到任何给定投影与剩余部分在其共同基础上的具体比例。这意味着它提供了一种手段来决定基于已知条件哪部分应被考虑作为投影，并且该方法对于了解整体动态至关重要，因为它能帮助理解系统行为是否因变化而发生了调整，以及这些变化对整体表现产生了怎样的影响。