向量加法
在数学和物理学中，向量加法是指将两个或多个向量按一定规则相加以得到一个新的向量。这个过程可以通过直观的图形方法来理解，也可以使用向量公式来精确地计算结果。在二维空间中，如果有两个二维向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和C=A+B可以用以下方式计算：
C₁ = a₁ + b₁
C₂ = a₂ + b₂
因此，新得到的二维向量C=(C₁,C₂)。同样，在三维空间中，如果有三个三维向量A、B、C，则它们的和D=A+B+C等于每个分量之和，即：
D₁ = A₁ + B₁ + C₁
D₂ = A₂ + B₂ + C₂
D₃ = A₃ + B₃ + C₃
这样就得到了新的三维向量D=(D₁,D₂,D₃)。
向量减法
除了加法之外，另一种基本的矢势运算就是减法。当我们从一个矢势场中减去另一个时，我们希望得到的是这两者之间差值。这种操作在电磁学中的电场力分析非常重要。在理想情况下，这种操作遵循相同的一组规则：如果A是一个n元数域内的一个n元数，然后对于任意b∈R^n，有-A=-A。如果a, b ∈ R^n且c ∈ R，则-a-b=a+b。
向量点乘（标志性乘积）
在矢势理论中，还有一种重要类型称为标记点乘，它涉及到两个长度为n元数域中的n元数v, w进行乘积，并返回一个单一元素r ∈ R。这一概念对于描述矢势场间相互作用至关重要，可以通过以下方式定义：
v·w=|v||w|cosθ，其中θ是v与w之间夹角。
它允许我们根据矢势场方向以及它们之间夹角大小来评估这些力的大小。
向量叉乘（交叉积）
当谈论到矢势理论时，不可或缺的一部分便是对应于轴性的矩阵乘积——也称为交叉积或者斜体积。这个运算符号适用于任何具有单位行列式(即无穷小模块)的人类矩阵，它能够产生另一个具有不同数量元素的人类矩阵。这对于描述旋转运动以及由于这些运动产生的力非常关键。
矢势求导
为了深入理解如何利用这些数学工具来解释自然现象，我们需要考虑如何对函数求导，以此确定其梯度—最常见的情况是在几何空间上表示给定函数关于特定变换率改变后的变化速率。此外，对于函数f(x,y,z),如果我们想要找到它关于x坐标变换所做出的贡献，那么只需对该函数关于x偏导即可实现这一目标。如果要找到所有方向上的梯度，将需要同时考虑所有坐标系上的偏导项并将它们组合成一个方程集，这些方程通常被称作雅各比行列式或Hesse行列式。
矢势微分形式与曲线积分
最后，虽然不是直接由"vector formula"定义，但微分形式是一种强大的工具，它结合了几何测度概念，如面积、体积等，以及微分代数以揭示物理系统行为。例如，在电磁学领域，我们经常使用边界值问题来解决分布电荷引起的静止磁场，而不仅仅是静止电流引起的问题。在这种情况下，我们必须考虑边界处张力的连续性条件，并通过整合沿着闭合曲线而不是单纯求解从特定的起始位置到终点位置所覆盖区域内张力的累计总和，从而推广了简单微分形式化简化复杂问题处理过程。
以上提到的都是使用"vector formula"进行实际应用的一些方面，其中包括但不限于添加、减去、取点产品（即内核）、跨产品以及梯度/雅可比/哈塞矩阵相关计算。此外，由于其强大的表达能力，使得它成为许多工程师们日常工作不可或缺的手段之一，无论是在机器学习还是在其他科学领域都能发挥出巨大作用。