在进行多元统计分析时，了解不同类型的回归模型至关重要。简单线性回归和多项式回归是两种常见的模型，它们用于解释因变量与单一自变量或自变量之间的关系。在实际应用中，选择合适的模型对于数据分析和预测至关重要。
简单线性回归
简单线性回归是一种最基础、最广泛使用的一种统计方法。它假设因变量与一个自变量呈现直线关系，即为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。这种模式可以用来描述很多自然界中的现象，如物体自由落体的情况。
多项式回归
相比之下，多项式回归则更为复杂，它允许因变量与自变量之间存在非线性的关系。在这个模型中，我们通常使用高次方程来拟合数据，比如二次方程（y = ax^2 + bx + c），三次方程（y = ax^3 + bx^2 + cx + d）等。
区别
首先，最明显的一个区别是它们对数据拟合曲度的能力。简单线性回gression只能捕捉到一条直线，而多项式regression能够通过添加更多系数来捕捉更复杂、曲折的情形。这使得后者在处理非均匀变化或波动趋势时特别有用。
其次，在实践操作上，这两个模型各有优势。例如，如果我们想要预测某个产品销售数量随着时间推移而变化，并且相信销售数量会随着时间增加而加速增长，那么我们可能会倾向于使用一个包含时间平方项或者更高次幂的多项式regression，以便准确地捕捉这一趋势。如果只是希望建立一个简化版本并且认为销售额随着时间成正比增加，那么简单linear regression就足够了。
第三点是计算难度和参数估计方法。在大规模数据集上，对于那些不熟悉高维空间概念的人来说，更容易理解和计算简单linear regression所需的参数。但是，对于具有较少观察值或需要精确建模特定非平滑特征的问题，复杂型poly regressions提供了更加灵活和强大的工具，但这也意味着需要更多考虑潜在问题，如过拟合风险以及如何选择最佳阶数等挑战。
最后，还有一点要注意的是，当涉及到协整检验时，由于其特殊结构，可以快速确定是否存在长期稳定的关系，这在金融市场研究中非常关键。而此类检验对于含有二阶或以上项的model并不适用，因此如果我们的主要目标之一是在寻找短期内可能存在但不会持久影响价格走势，则可能不太适合采用该方法进行分析。此外，由于这些检查基于相关矩阵，我们必须小心地避免任何可能导致结果误导性的混淆效果，因为每个新增元素都会改变矩阵，使得相关系数变得不可比较，从而要求从头开始重新构建这些测试以获得正确结果。
总结一下，在做出决定之前，我们应该根据具体情况考慮以下几个方面：是否需要捕获非平滑趋势；样本大小；以及我们试图解决的问题类型。在许多情境下，一般来说，开始从基本层面入手，不妨从linearity开始，然后再逐步引入更加复杂的情形以应对问题所需。当你意识到你的系统显示出一些异常行为或者你想探索其他可能性，你才考虑迈向poly regresion，以此进一步提高你的预测准确度。但无论哪一种技术，都不能孤立地应用，而应结合业务知识、领域专家意见，以及实验设计原则来优化你的决策过程。