什么是变量？
变量是一种可以根据不同的值来表示和改变的概念。在数学中，变量通常用字母或符号来代表未知数或者可变化的数值。例如，我们可以将某个人的年龄用一个变量x来表示，而这个年龄可能随着时间而变化。
算术运算符与变量
在数学表达式中，常用的算术运算符包括加法、减法、乘法和除法等。当这些运算符作用于两个或多个变量时，就会产生新的表达式，这些表达式描述了不同变量之间的关系。例如，如果我们有两个价格为a和b元的商品，那么它们之和就是a+b元。
方程式中的变量
另外，方程是一个等号两边的数学表达式，它表示的是左边等于右边。这意味着在方程中使用到的所有元素都需要满足这个等价关系。如果我们有一个简单的一元一次方程如x + 3 = 5，那么解出x就需要找到使得这条等式成立的一个数值，即x = 2。
线性方程组与系统
当我们有多个相互关联但独立存在的问题时，可以建立线性方计组。每个线性方程都是关于一些未知数的一系列单项函数之和，并且每一项都带有一个系数。如果我们想要找出所有可能的情况下各未知数分别取哪些具体值，这时候就要解决这个线性方程组了，比如说如果我们同时考虑到 x + y = a 和 x - y = b 的情况，我们知道y必须为零，因为只有当y=0的时候才能同时满足这两个条件。
非线性问题：指数与对数
有时候我们的问题不是那么简单，只能通过非线性的方式来描述。比如，当考虑到物体自由落体运动时，我们会发现它的速度并不会一直保持不增，而是随着时间增加越来越快。这一点可以通过使用指数函数来描述，其中斜率随时间增加。而对数则是其逆操作，它能够帮助我们理解以什么样的速率某事物在增长或者衰减，比如经济增长率或者病毒传播速度。
复杂系统：统计学与概率论
最复杂的情形是在处理包含大量数据或事件的情况，如统计学中的抽样调查。在这里，每一步都涉及到了巨大的数量级，从样本选择到数据分析，再到概率计算，都需要精确地理解每个步骤背后的逻辑以及它们如何相互影响。同样地，在概率论中，我们学习如何从各种事件中推断结果，并且了解不同事件发生几何上的可能性，以及这些可能性如何相互作用形成更大的概括结构。